典型建模题.doc

《数学建模》

一、某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1 万元。
（1） 该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2） 若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？
（3） 已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元。在（2）的条件下，新建停车位全部租出。若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种改造方案。
解：（1）设新建1个地上车位a万元，新建1个地下车位b万元，根据题意得
a+b=0.5 3a+2b=1.1 解得 a=0.1 b=0.4
(2) 设新建x个地上停车位，则新建地下停车位（50-x）个，根据题意，得：
10< 0.1x+0.4(50-x)≤11
解得30≤x<
∵ x为整数、
∴x=30、31、32
∴ 共有三种方案
（3）当x=30 50-30=20 总收入：100╳30+30╳20=9000
9000-3600=5400=4000+1400 不能恰好用完
当x=31 50-31=19 总收入：8800 8800-3600=5200=4000+1200 不能恰好用完
当x=32 50-32=18 总收入：8600 8600-3600=5000=4000+1000 恰好用完

二、某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）。商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元。已知商品房每套面积均为120平方米。开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）。
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1） 请写出每平方米售价y（元/平方米）与楼层x（2≤x≤23）x是正整数）之间的函数解析式；
（2） 小张已筹到120000，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房？
（3） 有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为些方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算。你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据说明你的看法。
解：（1）①当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：
3000-（8-x）╳20=20x+2840 (元/平方米)
②当9≤x≤23时，每平方米售价应用：
3000+(x-8)╳40=40x+2680（元/平方米）
所以y=20x+2840 (2≤x≤8) 且x为正整数
Y=40x+2680 (9≤x≤23) 且x为正整数
（2）由（1）知：第8层购买需要：（20╳8+2840）╳120╳30%=108000<120000 所以小张能买2-8层均可。
当9≤x≤23时，（40x+2680）120╳30%≤120000 解得：x≤16
∴小张可以购买2-16层的任何一层。
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要交房款为：
Y1=(40╳16+2680) ╳120╳92%-60a (元)
若按老王的想法则要交房款为：
Y2=(40╳16+2680) ╳120╳91% (元)
Y1-y2=3984-60a
∴当y1>y2时 解得：0<a<66.4 此时老王想法正确
当y1≤y2时 解得a≥66.4 此时老王想法不正确。

三、某企业准备组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地。按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满。请结合表中提供人信息，解答下列问题：
物资种类
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
12
10
8
每吨所需运费（元/吨）
240
320
200

（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费。
解：（1）设运A的x辆，运B的y辆，则运C的 （20-x-y）辆
12x+10y+8(20-x-y)=200
整理得：Y=-2x+20
（2）x≥5
-2x+20≥4
解之：5≤x≤8
∴ 方案共四种。
（4） 总运费W=12╳240X+10╳320(20-2X)+8╳200(20-X-20-20)=-1920X+64000
-1920<O ∴ W随x的增大而减少，总运费最少时，应取X最大，∴ 运A的8辆，运B的4辆，运C的8辆。最少运费48640元。