空间向量与立体几何1.doc

《空间向量与立体几何》单元复习与巩固
知识网络

目标认知
考试大纲要求：
　　1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
　　2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
　　3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
　　4. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
　　5. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
　　6. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
　　7. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究
　 　　几何问题中的作用.

重点
　　1、能用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线
　 　　面的平行与垂直问题；
　　2、利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、线线
　 　　角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等问题。

难点
　　①利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。
　　②利用空间向量求两异面直线所成的角、线面角和二面角等计算空间角的问题；
　　③利用空间向量求空间距离问题。

学习策略
　　1．用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
　　2．用向量方法求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
　　3．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。
　　设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，交平面于A，则点B到平面的距离为。

知识要点梳理
知识点一：平面的法向量
　　定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

　　注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
　　空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。
（1）线线平行
　　设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面平行
　　①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。
　　②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平
　　　面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共
　　　线向量。
　　③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共
　　　线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量
　　　能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。

（3）面面平行
　　①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
　　②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。

知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系
　　空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。
（1）线线垂直
　　设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面垂直
　　①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。
　　②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。

（3）面面垂直
　　①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。
　　②证明两个平面的法向量互相垂直。

知识点四：利用向量求空间角
（1）求异面直线所成的角
　　已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
　　则。

　　注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

（2）求直线和平面所成的角
　　设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，　则有。

（3）求二面角
　　如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。

　　若分别为面，的法向量，
　　则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
　　①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角
　　　的大小。
　　②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补
　　　角的大小。

知识点五：利用向量求空间距离
（1）空间两点间距离公式：
　　设点，，则

（2）两异面直线距离的求法
　　如图，设，是两条异面直线，是与的公垂线段AB的方向向量，又C，D分别是，上任意两点，则与的距离是。

（3）点面距离的求法：
　　如图，BO⊥平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度。
　　若AB是平面的任一条斜线段，
　　则在Rt△BOA中，。
　　设平面的法向为，则点B到平面的距离为。

　　注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

规律方法指导
1．平面法向量的求法
　　（1）平面法向量的确定通常有两种方法：
　　　　 ①几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；
　　　　 ②几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。
　　（2）在空间直角坐标系中，求出一个平面的法向量的坐标，一般步骤如下：
　　　　 ①设出平面的法向量为。
　　　　 ②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，
　　　　　 ，。
　　　　 ③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

　　　　 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程
　　　　 　组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。

2．用向量语言表述线与面之间的位置关系
　　设两不同直线，的方向向量分别为，，两不同平面，的法向量分别为，，则
　　①线线平行：，；
　　②线线垂直：；
　　③线面平行：在平面外，；
　　④线面垂直：，；
　　⑤面面平行：，；
　　⑥面面垂直：。
　　关键：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。

3．利用向量求空间角的方法
（1）线线角的求法：
　　设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（2）线面角的求法：
　　设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

（3）二面角的求法：
　　设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小

4．用向量方法求点面距离的一般步骤：
　　①求出该平面的一个法向量；
　　②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
　　③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。
　　　即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。
　　　线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
　　　直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
　　　两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

立体几何向量专题—空间向量在立体几何证明和计算中的应用
空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算便可解决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。

一、 空间向量基础知识和相关性质。
1．向量的直角坐标运算：
设，，则：
（1）；
（2）；
（3）（∈R）；
（4）；
（5）∥=λ或；
（6）⊥.
2．向量的坐标（两点间的距离公式）：
设A，B，则；
.
3．向量的模、夹角公式：
设，，则：；
.
基础练习：
1．判断下列向量的的关系
（1）=（1，-1,2），=（-2,2，-4）则：
（2）=（0，-1,2），=（-2,2，1）则：
2．求出下列向量的坐标并计算
（1）A（1,2,3）；B（-1,3，-2）则= ，=
（2）M（，-1,0），N（，-2,1）则= ，=
(3)由（1）（2）计算： = ，
= = ，= = ，
所以，= = =

4．平面法向量的求法：

（1）定义：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面α,
称这个向量垂直于平面α,记作⊥,这时向量叫做平面的法向量.
（2）求法：
原理：法向量就是与这个平面垂直的一个向量，则这个向量满足的条件是：与平面内任意两条相交直线的方向向量都垂直，即法向量和平面内直线的方向向量的数量积为0。
如图，平面ABC的法向量的求法:
E
（一）待定系数法：

①设平面ABC的法向量为=（1，y，z）
F
②在平面内找出两条相交直线所对应的向量：,
C
B
③建立方程组解出y，z。即得到平面ABC的法向量。
（注意：不是所有的情况都适用于设（1，y，z），如果方程无解，则把法向量设为（x，y，z），得到x，y，z的关系式以后，令y或者z为特殊值，解出其他未知数，得到其中一个向量。）
（二）直接证明： 如果能够证明EF⊥面ABC，则平面ABC的法向量为
例1，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.

解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设平面OA1D1的法向量为=（1，y，z），则
A1（ ），D1（ ），O（ ）
由=( )；=( )得
解出
∴平面OA1D1的法向量为=（ ）

参照例1的解法，请大家求一下面OC B1的法向量。

运用空间向量来解决立体几何问题的基本步骤：
用能够熟练运用空间向量来解决立体几何问题的话，4-8点是必备知识，必须掌握。
（一）选择合适的点作为坐标原点，建立空间直角坐标系。
空间直角坐标系中的x轴，y轴，z轴，必须满足两两垂直，如条件中没有现成的，就必须先证明再建系。
我们一般使用右手直角坐标系：让右手拇指，食指，中指分别指向x轴，y轴，z轴的正方向。
常见的几种建系大家可以记住：

非官方总结：在建系的时候，最好判断的是z轴，竖直的那条就是z轴。关于x轴和y轴，可以这样来看：（1）在垂直于z轴平面找到两条互相垂直的直线；（2）选定直角；（3）按逆时针方向排序，先是x轴，然后是y轴。这样就把坐标系建好了。

（二）能迅速找出所需各点的坐标
空间直角坐标系中点的坐标是（x，y，z），比平面直角坐标系的（x，y）多了一个竖坐标z。
其中x和y和我们平面直角坐标系的找法一样：
（1）x轴上y=0，y轴上x=0；
（2）到y轴的距离=，到x轴的距离=，要注意区分坐标正负。
大家在直观图中找坐标出现困难的时候，我们经常将直观图还原成平面图形来找坐标。（直接写在图中）
如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥CD，∠A=90°，BC=2AB=2AD=2，写出图中各点坐标。
如图（3）若将图（1）中的xAy，移动到xDy，则图中各点坐标为：
如图（2）边长为2的正三角形ABC中各点坐标为：
y

y
D

C
A

C
B

x
B
A

x
x

（1） (2) （3）
对于竖坐标z，因为竖直的那条坐标轴就是z轴，所以可以用射影法来找竖坐标，即看这个点相对于XOY平面上升或下降多少，上升为正，下降为负。
例2，（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
根据例2条件，选择合适的原点在图中建系并找出下列各点坐标 P（ ）；A（ ）；
B（ ）；C（ ）；
D（ ）；E（ ）；F（ ）；

（三）根据各点坐标，求出我们解题时所需要的向量
（1）设A，B，则；
（2）会求平面法向量的坐标。
（四）利用向量方法证明和计算的原理（见最后一页附表）
高考真题分析体验：
例3，（2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥中，底面为矩形，，，点是棱的中点.
（I）证明：；
（II）若，求二面角的平面角的余弦值.
选择合适的原点在图中建系并在图中标出各点坐标：

例4. （2010·江西高考文科·Ｔ２０）
如图，与都是边长为2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.
选择合适的原点在图中建系并在图中标出各点坐标：

（2010北京）（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. w_w w. k#s5_u.c o*m

附表2
平
行
的
证
明
线线平行
线面平行
面面平行

（1）向量法

（2）线面平行性质定理
（线面平行线线平行）

（3）面面平行性质定理

（4）线面垂直性质定理

（1）向量法

（2）线面平行判定定理
（线线平行线面平行）

（3）面面平行线面平行

（1）向量法

（2）面面平行判定定理
（线面平行面面平行）

（3）面面平行判定定理推论
垂
直
的
证
明
线线垂直
线面垂直
面面垂直

（1）向量法

（2）线面垂直线线垂直

（3）三垂线定理

（4）三垂线逆定理

（1）向量法

（2）线面垂直判定定理
（线线垂直线面垂直）

（3）面面垂直性质定理
（面面垂直线面垂直）

（1）向量法

（2）面面垂直判定定理
（线面垂直面面垂直）

角度的计算
两异面直线所成角（0，】
线面角【0，】
二面角【0，】

（1）向量法

（2）直接法：平行移动一条或两条直线，直到他们相交。这时所成的角（或其补角）为所求角。
技巧：多找中点，中位线，平行四边形等，或实行拓展补图等。

（1）向量法

（2）定义法：直接找到斜
线和射影所成角。
（3）
（4）三角余弦定理：

（1）向量法

2找平面角
（3）射影面积法

距离的计算
点面距离线面距离面面距离
两异面直线间的距离
（1）向量法：
（2）转化法
（3）等体积法：
（1）向量法

（2）定义法：找出异面直线的公垂线段。

（3）转化法：转化为线面距离或面面距离来求。

（四）利用向量方法证明和计算的原理（非常重要）
证明
分类
示意图
所需条件
证明原理
平
行
的
证
明

线线
平行

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量
∥∥
线面
平行

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量

直线∥平面
面面
平行

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

∥
平面∥平面
垂
直
的
证
明
线线垂直

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量
⊥
线面
垂直

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量

∥
直线⊥平面

（1）直线m方向向量；
（2）平面内两相交直线的方向向量,
=0⊥AB
=0⊥CD⊥
AB,CD且ABCD=P
面面
垂直

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

平面⊥平面

计算
分类
示意图
所需条件
证明原理
角
的
计
算

两异
面直
线所
成角
（0，】

（1）直线m方向向量
（2）直线n方向向量

简化：
线面角
【0，】
θ

（1）直线OA的方向向量；
（2）平面的法向量

简化：sin=
二面角
【0，】

同进同出为互补
（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

（1二面角平面角是锐角余弦就取正值
（2二面角平面角是钝角余弦就取负值

一进一出为相等
距
离
的
计
算
两异面直线间的距离

（1）直线a和直线b的公垂线的方向向量；
（2）a上任意一点A，b上任意一点B，构成向量

点面距离
点
面
距
离

点A到平面的距离
（1）点A和平面内任意一点B构成一个向量；
（2）平面的法向量

线面距离点面距离
面面距离点面距离

高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知，本章高考命题的形式比较稳定，难易适中。主要考线线、线面及面面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，以及空间角和距离的计算。从解答题来看，一般遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。（即立体几何平面化：面面问题线面问题线线问题；几何问题代数化）
一、基本定理梳理
平行的证明
线面平行
面面平行
定义
一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行。
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，也叫做平行平面。
判
定
定
理
文字
语言
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另外一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
图
形
语
言

符
号
语
言

性
质
定
理

文字
语言
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的交线平行。
图
形
语
言

符
号
语
言

其他
重要
结论
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

垂直的证明
线面垂直
面面垂直
其他重要结论
定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
相交成直二面角的两个平面叫做相互垂直的平面。
判
定
定
理
文字
语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
图形
语言

符号
语言

性
质
定
理

文字
语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另外一个平面。
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
图形
语言

符号
语言

三垂线定理
三垂线逆定理
文字语言
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
图形语言

符号语言