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好一个“一点锁定180度”
―――《三角形的内角》教学实录及评析
授课：湖北省钟祥市第五中学 孙红强
点评：湖北省钟祥市第五中学 杨 辉
《义务教育数学课程标准》提出义务教育阶段数学课程的总目标，将其分为知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度共4个子类。在每一类中都渗透“过程性目标”的思想，用“经历、体验、探索”三个动词刻画数学活动水平。“经历、体验、探索”就是要学生通过主动参与特定的数学活动，对知识的产生、发展、结果（抽象）、应用与拓展进行个体体验、群体合作交流。从这里可以看出，我们的数学教学要变过去只“重视结果”为现在的“既重结果，更重过程”，两者并重的新型数学教育教学理念。而这些过程在我们的数学课程教学中，特别是具体到一节数学课堂的教学中，该如何体现出数学知识教学的“过程性”呢？笔者以为数学知识的过程教学主要体现为数学知识的“生长过程”，也即数学知识的形成过程，要从过去对它们视而不见，转变为今天加强对它们开发、呈现，并试图让学生经历数学知识“生长”的全过程，在研究数学知识“生长过程”中提升学生学数学的兴趣和能力。现行的数学新教材的确加大了数学知识形成过程的板块设计，但要实现把数学知识“生长过程”教学化，使学生经历数学知识的形成过程，仅仅借助教材的呈现方式是完全不够的。这就需要我们教师开发教材，设计数学知识的“生长过程”，引导学生从数学知识“生长过程”中走过。下面以人教课标实验版7年级（下册）的“三角形的内角”一节教学为例，来作一探索。
1．探究新知
1．1．情景、设疑
师：某地板砖厂生产一种三角形的地板．要求三角形的每个内角都是60度；质量检测员在检查地板是否合格时，却只测量了两个角就做出结论，他这样做有道理吗？
生1：有道理。因为三角形的三个内角的和为180度 ，测量三角形中的两个角就能算出第三个角。
师：“三角形的三个内角的和为180度”这个结论我们还没有论证。回忆一下，我们在小学时是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180度”？
1．2．剪纸、拼图
生2：用量角器量各个内角的度数，计算它们和，得出结论。
生3：用撕拼的方法。将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角旁，看是否构成平角。
生4：用折纸的方法，将三个角折叠到一起。
师：大家能猜想到“三角形的内角和等于180度”，以上三位同学又为我们提供了采用实验的手段进行验证的好方法。下面我们以小组为单位进行实验验证。
师：刚才同学们讨论得很热烈。你们究竟是怎样验证的呢？哪些同学愿意代表你们的小组上来展示你们小组的验证方法？
生5：我们用两种方法进行验证：
一种方法是测量法,如图1 ，分别测得∠A＝58°, ∠B＝62°,∠C＝60°,这样就有：
∠A＋∠B＋∠C＝58°＋62°＋60°＝180°；
另一种方法是剪拼法，如图2，将∠A、∠B剪下拼到点C处，可以得到∠A＋∠B＋∠C＝180°。
58°
60°
62°
C°°
B°°
A°°
图1

师：在图2中你是怎样判断∠A＋∠B＋∠C＝180°？
生6：因为∠A、∠B、∠C它们拼成了一个平角。
生7：我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样。这是我们拼的图形（如图3），∠A、∠B、∠C也拼成了一个平角。

生8：我们小组是这样拼的，只把∠A移动拼在∠C处（如图4）。根据两直线平行，同旁内角互补，可得到：∠A＋∠B＋∠C＝180°。
师：生8不仅拼出了图形，而且还给予了必要的论证方法，实验的结论经过了推理论证，结果是可靠的。
【点评】学生经过剪、拼图活动，得出“三角形的三个内角的和为180°”，学生经历发现问题的思维过程，激发了自由探索的兴趣和欲望。
1．3．发现、生成
师：好，数学结论正确性是要建立在推理基础上的。上述实验结果是否可靠，还需要加以证明。刚才的拼图过程已经为我们提供了证明思路和方法，请把你们的方法由来及证明方法在小组内说说，听听其他同学的意见，互相取长补短。
（同学们互相讨论着，体验着成功的快乐。）
师：从同学们热烈的讨论中可以看出大家有很多好方法。现在请各个小组推荐一位代表作准备，代表你们小组进行“学术报告”。在报告中必须说明你的方法的由来和证明思路。
（第6小组的代表拿着笔和纸兴冲冲来到实物展台前。）
师：现在大家注意，前面的同学在展示他的方法时，我们要认真听、仔细看。在汇报结束后，我们就可以针对他的方法和根据提出问题，然后请做汇报的同学答辩。
生9（第6小组的代表）：过点C作CD∥AB，延长BC到E，证明过程如下：
因为∠1＝∠A,∠2＝∠B，
所以∠A＋∠B＋∠C＝180°。
E
D
C
B
A
2
1
图5

师：生9为我们展示了他的证明方法。同学们有什么问题吗？
生10：生9的说理过程有问题。以下是我们小组的说理过程：
因为CD∥AB,
所以∠1＝∠A,（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠B,（两直线平行，同位角相等）
又因为∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，（平角意义）
所以∠A＋∠B＋∠C＝180°。
师：不错。补充以后因果关系就比较清楚了。不过，生10同学的说理过程也存在问题，还需加上“过点C作CD∥AB，并延长BC到点E” 就更好了。同学们还有问题吗？
（无人再举手）
师：老师有一个疑问，你是怎样想到过点C作 AB的平行线CD？
生9：由图2的拼法可以发现：把∠A剪下并拼到点C处时，得到∠A＝∠A，根据内错角相等，可以得到两直线平行；反过来，如果两直线平行，那么∠A＝∠A，就相当于把∠A剪下并拼到点C处。这样，我们就得到图5的作平行线方法。
师：不错，你们很善于借助拼图中的经验，如果不做平行线呢？
（生11高高地举起了手）
E
D
C
B
A
2
1
图6
生11：如图6，我直接在点C处以点C为角的顶点，CA为角
的一边，在三角形外画∠1＝∠A。理由如下：
因为∠1＝∠A,
所以CD∥AB.（内错角相等，两直线平行）
因为CD∥AB,
所以∠2＝∠B.（两直线平行，同位角相等）
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180° 。
图7
C
B
A
1
2
F
E
师：好！其他小组还有方法吗？
生12（第4小组的代表）：我们受拼图3的启发，
过点C画EF∥AB，如图7。这样相当于把∠A、∠B拼
在∠C的两旁。理由为：
因为EF∥AB，
所以∠1＝∠A，（两直线平行，内错角相等）
图8
C
B
A
D
∠2＝∠B，（两直线平行，内错角相等）
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°。
生13：（第1小组代表）：我们受拼图4的启发，如图8，
过点C作CD∥AB .理由如下：
因为CD∥AB,
所以∠B＋∠BCD＝180°,（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180° 。
生14：我认为生13的说理不够准确。应在第一个“所以”后加上“∠ACD＝∠A，（两直线平行，内错角相等）”。
师：我有点佩服大家了（学生笑），不仅能从拼图中发现方法，采用不同的途径证明了“三角形的内角和等于180度”（板书），而且道理也讲得明白。
【点评】：在证明过程中，有的学生过三角形的一个顶点作对边的平行线；有的则是以三角形的一个角的顶点为顶点，这个角的一边为边在三角形外部做一个角等于其他两个角的任一个，构成内错角 ，获得平行线。这些辅助线的作法是在学生拼图后由实验而发现的，其“生长过程”合情合理。
1．4．拓展、探究
（由于平行线这种辅助线作法在平面几何中有着很重要的应用，教师抓住时机，提出问题。）
师：有人说“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论 ”，大家认为行吗？
（一石激起千层浪，此时，学生已发现过三角形的顶点作对边的平行线可达目的。学生在学习小组内展开了积极的讨论，尝试过其它点画平行线，……，不一会有学生举起了手。）
生4（用折纸的方法验证“三角形内角和为180°”的同学）：
如图9，在BC上任意取一点P，作PE∥AC、PD∥AB。说理过程如下：
A
B
1
4
C
3
2
D
E
图9
P
因为PD∥AB,
所以∠1＝∠B、∠A＝∠2，（两直线平行，同位角相等）
因为PE∥AC,
所以∠3＝∠C、（两直线平行，同位角相等）
∠4＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠3＋∠4＋∠1＝∠BPC＝180°。
生15（第2小组的代表）：如图10，在△ABC的内部任取一点P，
分别作MN∥BC、PD∥AB 、PE∥AC。
因为MN∥BC，所以∠AMN＝∠B、∠ANM＝∠C，（两直线平行，同位角相等）
A
B
N
M
C
P
D
E
图10
接下来就可以转化为生4的证明方法了。

A
B
N
M
C
P
D
E
图11
生16（第3小组的代表）：在△ABC外任取一点P，如图11所示，分别作MN∥BC交AB、AC的延长线于点M、N，作PD∥AB 、PE∥AC分别交AC、AB于点D、E。
证明方法和生15的方法差不多。
……

【点评】：在学生解决问题之后，教师提出一个更能激发学生继续研究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不在是一招一试的解决问题的方法，而是通过合作研究，发现不同的解决问题的方法之间的转化所在。让学生“身不由己”经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程。
1．5．归纳、升华
师：大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？
（学生开始讨论了，有的从作辅助线的多少入手，有的从图形的关系入手。）
生17：我认为从作平行线的点的位置分类归纳好些，可分三种情况：点在三角形边上；点在三角形内；点在三角形外。
师：好！我把同学们刚才的方法归纳一下，有以下规律：
过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的。
①如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图5，图7，图8的情形；
②如果过三角形一边上一点作平行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线。如图9的情形：
③如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线。如图10，图11的情形。
师：通过以上各种方法的研究，我给你们的研究方法概括为：一点“锁定”180度。
（正当老师准备结束三角形内角和结论的论证时，又有一位学生把手高高的举起了。）
生18:老师，我们过三角形三个顶点作平行线也可论证。下面是论证过程：
如图12，在BC上取点D，连结AD，
过点B、C分别作BE∥AD，CF∥AD，
因为BE∥AD，CF∥AD，所以BE∥AD∥CF，
所以∠1＝∠3，∠4＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠EBC＋∠FCB＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又因∠BAC＝∠3＋∠4，
所以∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
即∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC＝180°。
（难道老师还没有想到吗？这可是出乎教师的意料之外的。）
师：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他一些方法。课后继续在小组内研究交流，把好的方法也给老师学学。
【点评】：通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一”，同时，也点燃了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴。
2．运用新知
师：“三角形的内角和等于180度”这个结论在生活中有着广泛地运用，请看大屏幕，我们一起解决这样一个问题。（多媒体展示）
例、如图13，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
图13

师：请同学们独立思考，尝试解决以上问题，并在草稿纸上写出解答过程.
生19（来到展台前）：这是我的解答过程.
解：∠CAB＝80°－50°＝30°
∠ABC＝180°－80°－40°＝60°
所以∠ACB＝180°－30°－60°＝90°
答：从C岛看AB岛的夹角为90°
师：生19同学的解答基本正确，但说理的过程还有待完善。以下是老师的解答过程，请大家对照自己的解答过程看一看.(多媒体显示)
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°
D
A
E
B
F
C
图14
因为AD∥BE，可得：∠BAD＋∠ABE＝180°
所以∠ABE＝180－∠BAD＝180°－80°＝100°
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝180°－40°＝60°
在△ABC中
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°
答：从C岛看AB岛的夹角为90°.
师：你们还能想出这个例题的其它解法？
生20：如图14，过点C画CF∥AD，
由CF∥AD可得，∠BCF＝∠DAC＝50°,
因为AD∥BE，所以CF∥AD∥BE，
由CF∥BE可得，∠BCF＝∠CBE＝40°,
所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°。
【点评】：设计一题多解是例题的学习也成为过程性知识的新生长点，拓展了学生探究能力的“生长”空间。
师：再请同学们独立完成教材第80页的第1、2题。
……
3．拓展新知
师：你们能利用本节课所学的知识求出四边形的内角和吗？
（短暂的安静后，一些学生兴奋得站起来）
生21：四边形的内角和是360度。连接四边形的一条对角线就可以把四边形分为两个三角形，两个三角形内角和的和就是四边形的内角和。
师：很好，你们已经会类比研究问题了，请同学们课后研究“n（n≥5）边形的内角和”。
4．整理新知
师：你们在这节课有什么收获呢？ 谈谈你们的所获。
生22：三角形的内角和为180度。
生23：“一点锁定180度”的论证方法：过任意一点作三角形边的平行线都可以证明三角形内角和等于180度。
生24：四边形内角和等于360度。
生25：从拼图中可以发现作辅助线的方法。
师：通过本节课的学习活动，你们还有什么疑惑或思考？
D
A
C
E
M
F
N
B
BA
C
A
图15
生4（折纸的同学）：如图15，我可以将三角形的三个角折到平角∠BFC处，但是我无法证明这种方法的成立。

师：你很善于发现问题、提出问题、思考问题，解决你提出的问题还需要以后学习的数学知识，希望你在以后的学习中关注这个问题，直到这个问题的解决为止。
5．巩固新知
教师布置作业。
……
教学评析
“三角形内角和等于180度”这一结论，学生从小学就有所接触和应用。而初中学段再来研究它，不是简单的重复，而是要从平面几何的逻辑思维、演绎推理等角度进行探索。所以要与小学单纯的测量、拼接而或结论的教学过程有所差别，要站立在学生小学学习和生活的经验基础上，引导学生经过猜想、实验、发现、验证、再发现的过程，既要教学生操作猜想，又要教学生推理论证。通过对知识的产生、发展的过程来构建数学教学过程，兴趣会油然而生。这样，学生在研究知识“生长过程”中，获得的知识不再是仅有的结果性知识，对数学学习有着不可低估的数学思想方法、动态研究方法、推理方法等观念的过程性知识悄然而生，扎根于学生的头脑之中。这节课的教学优点比较多，下面简要评析如下：
（1）设置动手操作活动，培植学生研究能力
“三角形内角和”结论的掌握，学生在小学就会，若快速的把知识讲完，让学生再次记住结论，然后在教给学生解题方法，学生就会失去一个研究问题的过程。老师在进行教学流程设计中，关注学生动手操作活动的设置，表面上看是一个重复活动，实际上教师借助司空见惯的一个个剪、拼活动设计，不仅调动了学生的积极性，而且引导学生从更理性的角度进行观察、发现，进而进行推理论证，学生无意识的被牵引到数学知识“生长过程”的场景中，教师已经潜移默化的将研究问题的方法“教授”给学生，于无形之中培植了学生研究能力。
（2）开发知识“生长过程”，实现过程结果并重
在数学教学中既重视结果，又重视过程，这已经是数学课程改革的共识。这节课教学着重对“三角形内角和”的发现及论证等结果性知识的“生长过程”进行了开发、展示：教师对教材结构进行了重组，利用学生剪、拼活动，让学生发现“三角形内角和等于180度”这一结论，从数学图形直观上开发了结果性知识的“生长过程”；教师又突破了教材的推理论证形式，借助剪、拼图形引导学生获得“三角形内角和定理”推理论证的辅助线作法，从数学逻辑思维本质上开发了过程性知识的“生长过程”。这样，“数形结合”（形：三角形；数：三个内角和等于180°）的数学思想方法，“转化建模”（从实际三角形纸板建立三角形图形，从纸板剪、拼构成的图形的线条构造辅助线，均是建模过程；将三角形问题转化为平行线问题，利用平行线的性质解决三角形问题，就是一个很好的转化方法）的数学思想方法已经感染了学生。学生真实的从这些“生长过程”中走过，才能实现在数学教学中结果与过程并重，过程教学才能获得成功。
（3）开放研究问题形式，激活学科思维拓展
这节课的课堂教学中问题研究的形式比较多样，教师富于创设形式多样的研究问题方式和方法，除了上述谈及的操作等活动的设置外，教师注意从数学思维层面进行挖掘、开发。从“三角形内角和”结论发现、简单论证、推广论证、归纳总结、实际应用等角度进行预设和引导，冲破常规教学模式，放手引导学生探索，特别是在思维方法“一点锁定180度”归纳前，教师借助“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论”进行“抛砖引玉”，一些不得了的研究方法和思维拓展得到了激活，可以说，不经历深层拓展探索，是难获得思维深刻的。
（4）构建“教”“学”多边互动，获得师生教学双赢
“教”与“学”活动，合二为一本质就是教学。这节课不仅关注了“教”的预设，而且突出了“学”的创设，关注了“学”的动态发展。教师从开课的情景创设，“三角形内角和结论”的发现，结论的验证方法，动手操作直观观察活动，推理论证全程等环节进行了多边互动活动的创设，激发学生与教师进行交流，学生与学生进行质疑。在看似“花哨”的教学活动过程中，教师驾驭课堂的教学能力的提高，学生数学逻辑思维能力的提升在悄然进行着……