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有理数的乘除法（提高）
撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与0相乘，积为0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘．
（2）几个数相乘，如果有一个乘数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 倒数的意义： 若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
4. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：a×b＝b×a．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即： (a×b)×c＝a×(b×c)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a×(b+c)＝a×b+a×c．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
有理数除法法则：
法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0.
法则二：除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数，即.
要点诠释：（1）一般在能整除时应用法则一方便些，在不能整除的情况下应用法则二．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则一与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
解：(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.
2.运用简便方法计算：
(1) ；（2）
【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把与4相乘，再运用乘法结合律将与相乘．(2)．计算的值可运用分配律，计算的值则可逆用分配律．
解：(1) 原式；
（2）

【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】
解：（1）原式

．
(2)
＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2
＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)
＝-3.14×100
＝-314
类型二、有理数的除法运算
3．计算：
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除381226 有理数除法例1（3）】
【变式】计算：
【答案】解：原式
类型三、有理数的乘除混合运算
4.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.

【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】解：
类型四、有理数的加减乘除混合运算
5. 计算：
【答案与解析】
解：方法1：
方法2：
所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了．
举一反三：
【变式】（1） ；（2）
【答案】（1）原式=
（2）原式

类型五、含绝对值的化简
6. 已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?
【思路点拨】当a、b、c分别大于0时，，，；当a、b、c分别小于0时，，，．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c三个数都为正数时，；
(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，
；
(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，
；
(4)当a、b、c三个数都为负数时，
综上，的值为：
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例2】
【变式】计算的取值．
【答案】
解：(1)当a＞0、b＞0时，；
(2)当a＜0、b＜0时，；
(3)当a＞0，b＜0时，；
(4)当a＜0，b＞0时，．
综上，的值为：．

【巩固练习】
一、选择题
1．若a＜ c ＜ 0 ＜ b ，则abc与0的大小关系是（ ）．
A．abc ＜ 0 B．abc = 0 C．abc ＞ 0 D．无法确定
2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为( )．
A．48 B．-48 C．0 D．xyz
3．已知a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大的排列顺序是( )．
A．a＜ab＜ab2 B．ab2＜ab＜a
C．a＜ab2＜ab D．ab＜a＜ab2
4. 若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则的值是为（ ）．
A． B．99! C．9900 D．2!
5.下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（　 　）．
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫
… …

7．已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办.若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（ ）
A．公元2070年 　B．公元2071年 　C．公元2072年　 D．公元2073年
二、填空题
8．计算12-7×(-32)+16÷(-4)之值为 ．
9．已知，，且，则的值是________．
10.如果，则化简= .
11.某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为_____元．
12.在与它的倒数之间有个整数，在与它的相反数之间有个整数，则= .
13.如果有理数都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则中最少有 个负数，最多有 个负数.
三、解答题
14.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）(-9)÷(-4)÷(-2)
(5)
（6）2004×20032003-2003×2004200404
15.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．
16.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
；；；．
（1）你发现了什么规律，请用字母（为正整数）表示．
（2）不用计算器，直接写出结果．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C
【解析】abc中负因子的个数有两个，所以最后的积应为正的.
2.【答案】B
【解析】由|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0可求得x＝1，y＝-2，z＝3，
所以(x+1)(y-2)(z+3)＝2×(-4)×6＝-48．
3.【答案】C
【解析】利用特殊值法，取a＝-2，b＝，则ab＝-2×，，易比较得到．
4.【答案】C
【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可．
100!=100×99×98×…×2×1，98 !＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900
5.【答案】B
【解析】②③正确．
6.【答案】D
【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿|，…，|蓝 紫 红 黄 绿|蓝 紫 红，每5个一个循环，总个数应该是被5除余3的数，所以答案应为：2013．
7．【答案】B
【解析】由已知，我们可总结出每4年举办一次，只要每个选项与2009，2010，2012的差有一个是4的倍数，则能在这一年举办某项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举办．
二、填空题
8.【答案】232
【解析】原式＝12-(-224)+(-4)＝232．
9.【答案】-8
【解析】因为|x|＝4，所以x＝4或-4．同理，或．又因为，所以x、y异号．所以．
10.【答案】0
【解析】；，所以和为0．
11.【答案】90
【解析】依题意列式为：150×0.8-30＝90．
12.【答案】-5
【解析】由题意可得：，代入计算得：-5
13.【答案】1； 3
　 【解析】四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有1个，最多有3个.
三、解答题
14. 【解析】
解：（1）原式=

（2）因为．从而加数中都含有，所以逆用乘法分配律，可使运算简便．
原式
（3）原式=
(4)原式＝-9÷4÷2＝
(5) 原式=
=-
=-
（6）原式= 2004×2003×10001-2003×2004×10001=0.
15.【解析】解：不需要改做其他项目．
理由：(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2＝-45+60+68-46＝37(万元)．因为，所以不需要改做其他项目．
16.【解析】解：20979，21978，22977，23976
（1），其中表示；
（2）28971

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