平面向量单元测试题(2).doc

平面向量单元测试题

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1． 若ABCD是正方形，E是CD的中点，且，，则=
( ) A． B．　　Ｃ． Ｄ．
2．下列命题中，假命题为 （ ）
A． 若，则 B．若，则或
C．若k∈R，k，则k=0或
D．若，都是单位向量，则≤1恒成立
3．设，是互相垂直的单位向量，向量，，，则实数m为 （ ）
A．-2 B．2 Ｃ． Ｄ．不存在
4．已知非零向量，则下列各式正确的是 （ ）
A．+= B．+=
C．-= D．=
5．在边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则的值为 （ ）
A． B． Ｃ．0 Ｄ．3
6．在△OAB中，=（2cosα，2sinα），=（5cosβ，5sinβ），若=-5，则S△OAB= （ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
7．在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是 （ ）
A．长方形 B．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形
8．把函数y=cos2x+3的图象沿向量平移后得到函数y=sin（2x-）的图象，则向量是 （ ）
A．（） Ｂ．（） Ｃ．（） Ｄ．（）
9．若点F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，的值为 （ ）
A．0 B．1 Ｃ．3 Ｄ．6
10．向量=（-1，1），且与+2方向相同，则的范围是 （ ）
A．（1，+∞） B．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1）
11．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的 （ ）
A．内心 B．外心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心
12．已知D是△ABC中AC边上一点，且=2+，∠C=45°，
∠ADB=60°，则= （ ）
A．2 B．0 Ｃ． Ｄ．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．△ABC中，已知a=4，b=6，sinB=，则∠A= 。
14．已知M(3,4)，N(12,7)，点Q在直线MN上，且，则点Q的坐标为 。
15．已知||=8，||=15，|+|=17，则与的夹角θ为= 。
16．给出下列四个命题：
①若，则∥； ②与不垂直；
③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则；
④设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC=。
其中真命题的序号是 （请将你认为真命题的序号都填上）。
三、 解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
设向量=（3，1），=（-1，2），向量，∥，又+=，求。

18．（本小题满分12分）
已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，(0<α<π)。
（1）若（O为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求tanα的值。

19．（本小题满分12分）
如图，O，A，B三点不共线，，，设，。
（1）试用表示向量；
（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。

20．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，A (1，t)，C（-2t，2），（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。
⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；
⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。

21．（本小题满分12分）
如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，其中tanα=。在距离港口O为a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中cosβ=。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。
（1）求S关于m的函数关系式S(m)；
（2）当m为何值时，补给最合适？

22．（本小题满分14分）
已知在直角坐标平面上，向量=（-3，2λ），=（-3λ，2），定点A（3，0），其中0<λ<1。一自点A发出的光线以为方向向量射到y轴的B点处，并被y轴反射，其反射光线与自点A以为方向向量的光线相交于点P。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）问A、B、P、O四点能否共圆（O为坐标原点），并说明理由。
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平面向量答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1． B；2．B；3．A；4．D；5．B；6．D；7．D；8．A；9．A；10．C；11．C；12．B
10．C．解析：注意与+2同向，可设+2=λ（λ>0），则=，从而
。
11．C．解析：+，即，即与同向。
12．B．解析：解三角形可得∠ABD=90°。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．30° 14．(6,5) 或(0,3) 15． 16．①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解： 设=（x,y），
∵，∴，∴2y – x =0，①
又∵∥，=（x+1，y-2），∴3( y-2) – (x+1)=0，即：3y – x-7=0，②
由①、②解得，x=14，y=7，∴=（14，7），则=-=（11，6）。
18．（本小题满分12分）
解：⑴∵，，
∴，∴．
又，∴，即，
又，∴与的夹角为．
⑵，，
　由，∴，　可得， ①
　∴，∴，
∵，∴，
又由，＜0，
∴＝－， ②
由①、②得，，从而．
19．（本小题满分12分）
解：(1)∵B，E，C三点共线，∴=x+(1-x)=2 x+(1-x)，①
同理，∵A，E，D三点共线，可得，=y+3(1-y)，②
比较①，②得，解得x=， y=,∴=。
（2）∵，，，
，，
∴，∴L，M，N三点共线。
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵，∴OABC为平行四边形，
又∵，∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形。
∵=(1-2t，2+t)，
① 当1-2t>0，即0<t<时，A在第一象限， B在第一象限，C在第二象限，（如图1）
此时BC的方程为：y-2=t(x+2t)，令x =0，得BC交y轴于K(0,2t2+2),
∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3).
② 当1-2t≤0，即t≥时，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）
此时AB的方程为：y-t= (x-1)，令x =0，得AB交轴于M(0,t+),
∴S(t)= S△OAM=.
∴S(t)=
（2）当0<t<时，S(t) =2(1-t+t2-t3)，S′(t) =2(-1+2t-3t2)<0，
∴S(t)在（0，）上是减函数。
当t≥时，S(t) =，S′(t) =，
∴S(t)在[，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。
∴当t=1时，S(t)有最小值为1。
21．（本小题满分12分）
解：（1）以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。
直线OZ的方程为y=3x，①
设A(x0，y0)，则x0=3sinβ=9a，y0=3cosβ=6a， ∴A(9a，6a)。
又B(m，0)，则直线AB的方程为y=(x-m) ②
由①、②解得，C()，
∴S(m)=S△OBC=|OB||yc|= ，()。
（2）S(m)=3a[(m-7a)+]≥84a2。
当且仅当m-7a=，即m=14a>7a时，等号成立，
故当m=14a为海里时，补给最合适。
22．（本小题满分14分）
解：（1）设P(x，y)，A关于原点的对称点为C，则C(-3，0)。
依题意，B(0，2λ)，∴，，
由反射光线的性质，C，B，P三点共线，∴3y - 2λ(x+3)=0， ①
∵，且∥，∴3λy + 2 (x-3)=0， ②
由①，②消去λ得P点轨迹方程为：，（x，y>0）。
(2) 若A、B、P、O四点共圆，则∠P=∠AOB=90°，
∴，∴x2 – 9 + y2=0，又，可得y=0，矛盾。
∴A、B、P、O四点不能共圆。