高中数学教学论文-圆锥曲线的新定义及其应用.doc

圆锥曲线的新定义及其应用摘要：本文以定圆替代定直线作为准线研究了平面内动点轨迹，用解析的方法得到了圆锥曲线的三个标准方程，总结出圆锥曲线的新定义（或称第三定义），并探讨了新定义与原第一、第二定义间的相互关系。在建立准圆、中圆概念后，得出了三种标准圆锥曲线的绘制方法，并初步制成了能画三种曲线的绘图仪。关键词： 圆锥曲线 定圆 准圆 中圆 1 引言圆锥曲线从产生至今已有2300多年的历史。早在公元前四世纪古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus)（约公元前375325）在解决“倍立方”问题中第一次涉及圆锥曲线的概念。所谓“倍立方”问题，即确定两体积相差二倍的正方体边长的关系问题（若、分别为两正方体的边长，当已知时，如何确定=中的值）。在用尺规作图解决此问题过程中，遇到了抛物线和双曲线的作图问题。梅内克缪斯提出由圆锥可以截出三种曲线。约百年后，奥波罗尼奥斯(Apollonins)(世纪前262190)在他的著作圆锥曲线论中系统地阐述了圆锥曲面的定义，利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，按照平面与圆锥曲面相截角度大小的不同,=, ，如图1所示,顺次给出了圆锥曲线的三种名称，即双曲线(hyperbola)、抛物线(parabola)和椭圆(ellipse)，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究。他虽然没有明确给出焦点、准线等概念，但“椭圆上任一点到两定点的距离和为一定值” 和“双曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是一个定值”这两个重要性质在他的著作中已有所介绍，这就为后来圆锥曲线第一定义的建立打下了基础。同时代的欧几里得(Euclid)（公元前330275）在他的巨著几何原本里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即：平面内一点和一定直线，从平面内的动点向引垂线，垂足为，若的值一定，则动点的轨迹为圆锥曲线，可惜的是欧几里得没有给出这一定理的证明。600多年后帕普斯(Pappus)（约290350）在他的著作数学汇编中完善了这一统一定义，并给出了证明。圆锥曲线在历史上的两大重要应用是在文艺复兴后的16世纪发生的，其一是德国天文学家开普勒(Kepler)(15711630)，经过许多次失败后，他发觉，对于观察到的火星运动，唯一的解释乃是：火星轨道是以太阳为焦点的一个椭圆轨道，他同时给出了离心率的概念；其二是伽利略(Galileo)(15641642)，他结合精确的实验和数学分析，解决了抛射体坠落问题，证明若无空气，抛射体便要遵循抛物线的路线。17世纪笛卡尔坐标系的出现，将几何学与代数学结合在一起，使圆锥曲线的研究又前进了一大步，1655年英国数学家威廉斯（Wallis）导出了圆锥曲线方程。到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立了极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。1745年欧拉（Euler）（17071783）发表了分析引论，书中给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，包括现代教材中所用的圆准曲线标准方程。圆锥曲线的广泛实际应用激发了我的学习兴趣，数与形相结合的研究方法提高了我的思维能力。我在寻求用尺规作图法画圆锥曲线的过程中，较深入地研究了圆锥曲线的第一与第二定义，但对于椭圆和双曲线的第二定义感到抽象难懂，它们也不便于用尺规绘制。因此，在用定圆替代定直线的解析研究中，我试图寻找有利于尺规作图并能描述圆锥曲线的另一简明定义。2 关于圆锥曲线的第一定义与第二定义高中现有教材中，椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。第一定义表明：平面内到两定点、距离之和为常数，此常数大于，其动点轨迹为椭圆，、称为椭圆焦点，两点之间的距离称为椭圆的焦距；平面内到两定点、距离之差绝对值为常数，此常数小于，其动点轨迹为双曲线，、称为双曲线的焦点，两点之间的距离称为双曲线的焦距；平面内到定点与到定直线距离相等的动点其轨迹为抛物线，称为抛物线的焦点，称为抛物线的准线。第二定义称为统一定义，它以定点和定直线为参照系（被选为参考的定点和定直线称为参照系）：在平面内取一定点和一定直线，从平面内的动点向引垂线，垂足为,若为一定值，（称为离心率，称为焦点，称为准线），则当1时，动点的轨迹是椭圆；1时是双曲线；1时是抛物线。实际上第一定义与第二定义对抛物线而言，表达是相同的。3 以定点定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式3.1 基于第一定义的圆锥曲线标准方程从第一定义出发，经过公式推证，得到如下圆锥曲线的三种标准方程：椭圆方程 （1）双曲线方程 （2）抛物线方程 （3）3.2 基于第二定义的圆锥曲线标准方程建立直角坐标系如图2，给出焦点坐标和准线(与轴垂直，交点坐标为)，作动点()，由向准线作垂线 ，将动点与焦点连线 。根据第二定义，用坐标表示与的距离，然后作比，建立如下公式 （4） 式中为离心率。将(4)式展开，有理化， 合并同类项后得统一表达式如下： （5）取，则统一表达式(5)可化为 （6）若01则，将代入(6)式，调整正负号后，得 (双曲线标准方程)若=1,则，此时项将不存在，取，通式(5)可化为 （7）即 (抛物线标准方程)根据第二定义，通过解析的方法建立统一表达式(5)，并按离心率 的不同，理所当然地得到了三种标准方程。3.3 问题的提出由圆锥曲线第二定义可以看到，只有抛物线的定义最简明，=1时表示=，因而研究起来较方便。而椭圆和双曲线的1则表示，这时将出现各种各样的情况，无固定简明规律可寻。于是思考另一个问题，对于椭圆和双曲线是否也能找出类似于=的条件从而使得问题的思考更加简单呢？显然，如果重复以原有的焦点和准线为参照系是不行的，因其与第二定义相矛盾，但是如果将参照系加以改动，是否能出现预想的效果呢？第二定义中参照系是定点和定直线，是否可以用其它图形取而代之呢？点、线、圆，一级比一级复杂，所以定点可不变，那么将定直线换为定圆是否可行呢？若使动点到定点的距离和动点到定圆的距离相等，动点的轨迹是怎样的呢？3.4 以定点和定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式按照图2的方式建立图3，定点坐标为(，0)，定圆是以 (,0)为圆心，为半径的圆，此圆与轴的右交点坐标为(，0)。作动点，连线段，作射线与定圆相交于，线段的长度按所给定义即为动点到定圆的距离，令=将会得到动点的轨迹。首先建立如下方程： （8）将此式进行两次有理化，推导过程如下：动点到定圆的距离定义为：平面内动点到定圆上各点距离中的最短距离。不难证明这个最短距离所在直线必过定圆的圆心。合并同类项后，得新的圆锥曲线统一表达式 （9）3.5 由新的圆锥曲线统一表达式推导三个标准方程统一表达式（9）中有三个参数、,与前面(5)式相比，参数中多了一个半径，但少了一个离心率，和两式相同。(9)与(5)式中都有项项项和常数项，所以两式都是二次曲线方程，由(9)式调整参数也可以得到与(5)式同样的三个标准方程。3.5.1 椭圆标准方程的推证对于图3，如果将定圆圆心设为左焦点，设为右焦点，就很像椭圆上一点，因此令=，即。从椭圆的第一定义出发，、若是左右焦点，则+= ，因已给定=，所以得出=+=+=，当，时代入统一表达式(9)化简后得到 （10） 取得到 即 (椭圆标准方程)3.5.2 双曲线标准方程的推证取由(10)式得到 即 (双曲线标准方程) 3.5.3 抛物线标准方程的推证在研究推证抛物线方程时，考虑到标准抛物线方程中项系数为1，因此先将式(9)都除以4，并对项系数简化得到 （11）抛物线的推证关键在项的系数，只有在此项系数为零时才可能出现抛物线。研究(11)式中项的系数，很容易发现=或时，此项系数为零，但是将=或代入项的系数中计算后也为零，同样常数项也为零，结果是=0，并没有抛物线。这相当于点与点重合，或定圆与轴左交点与重合，即定点与定圆上一点重合，这时只有=0(即在轴上)的各点到定点与定圆上距离相等。经上述讨论在推导抛物线标准方程时不能取=也不能取，参照原定义，取，如何能使项系数为零呢？研究(11)式中项系数时发现，当以及时一般不能为零，因为为常数，此时要使此项系数为0，只有，即定圆半径无限大时，定圆就变成了过点的一条定直线，此时再将，代入(11)式，得出当时各项系数的情况如下：项系数讨论 （12）项系数讨论 （13）常数项讨论 （14）代入(11)最终得到， (抛物线标准方程)4 第三定义的提出 在上述论证过程中，与椭圆和双曲线标准方程对应的定点是右焦点 (，0)(或左焦点(-，0)，对应的定圆是以左焦点 (-，0)(或右焦点(，0)为圆心，2为半径的圆，这种圆称为准圆。与标准抛物线对应的定点是焦点（，0），定圆是与轴相交为(-，0)，圆心在轴上半径为无穷大的圆，这种圆也称为准圆。综上所述可以得出结论：平面内到定点和定圆（定点不在定圆上）距离相等的点，它的轨迹是圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线)，当定点为焦点，定圆为准圆时，它的轨迹属于三种标准圆锥曲线。这就是我给出的圆锥曲线的新定义（或称第三定义）。5 圆锥曲线三个定义的相互关系 由第三定义既然也能推出三种标准圆锥曲线的方程，那么它与圆锥曲线的第一、第二定义之间肯定是有内在联系的。5.1 第三定义与第一定义之间的相互关系将(8)式稍作变化可得 此式即反映了椭圆的第一定义。(8)式是否能反映出“双曲线”的第一定义呢？根据已有的第一定义的结论，逆向思维，若要出现差为定值则(8)式中的比值必取-1，但问题是：比值符号的变化是否会影响公式推导的结果呢？经过计算后得出结论：因进行了两次有理化，比值的正负不会对推导结果（(9)式)产生影响。因此，令(8)式中比值取-1，稍作变化后可得 此式即反映了双曲线的第一定义。根据前面的推证，如果要得到抛物线，必须要求定圆半径，从图3.1中可以看出，时趋近于直线，趋近于水平，此时(8)式中将趋近于，从而使(8)式转化为，此式即反映了抛物线的第一定义(注意:此时(8)式比值又将为-1，但不影响（9）式)。5.2 第三定义与第二定义之间的相互关系第三定义与第二定义的关系(如图4、5)主要反映在到准圆的距离和到准线的距离之间的关系上，只要将椭圆和双曲线的标准方程和相应参数代入两个距离的表达式中，可证明出为定值，且定值等于离心率(证明略)，对于抛物线从图5中可以看出当点不动且时点趋向于，应等于1。5.3相互关系的结论综上所述，可以得出结论：第三定义是第一定义三种情况的综合。动点到第三定义中准圆的距离与到第二定义中准线的距离之比为离心率。对于前文提到利用极坐标研究圆锥曲线的问题，可以推导出由第三定义建立的圆锥曲线方程与现有极坐标方程具有完全相同的形式，但在推证抛物线的极坐标方程时，仍然要让准圆的半径趋近于无穷大，详见附录1。第三定义是第一定义的综合，又与第二定义等价，而最终又在极坐标中得到统一，由此可体现出数学的和谐美。6 圆锥曲线的统一性质定理：焦点与准圆上任一点连线的中点，其轨迹为以原点为心，为半径的圆。证明：如图6所示，若点为中点，当在准圆上移动时寻找点的轨迹。由图6可建立如下方程：取 得到即 此轨迹为以坐标原点为圆心，为半径的圆。上述证明也可由图解法给出，此圆称为中圆。有了焦点、准圆、中圆的概念后使得标准圆锥曲线作图变得十分简易。7 圆锥曲线尺规作图法7.1 椭圆尺规作图法图7中给定焦点、准圆和中圆后，当准圆的半径大于焦距时，过焦点引射线，连线与中圆交于，过作垂线与交于，则为椭圆上一点，不难证明=，因此点满足第三定义且。7.2 双曲线尺规作图法图8中给定焦点、准圆和中圆后，当准圆的半径小于焦距时，过引射线，连线与中圆交于，过作垂线与的延长线交于点，则为双曲线上一点，不难证明=，因此点满足第三定义且。7.3 抛物线尺规作图法图9中给定焦点、准圆和中圆后，准圆上任取一点，与中圆(相当于轴)交于，过点作垂线与过并垂直准圆的水平线交于点，则点即为抛物线上一点。不难证明=，因此点满足第三定义且半径为无穷大。根据新定义及由新定义得到的定理以及上述三种尺规作图法，现已初步制作出圆锥曲线的统一绘图仪，专文另述，详见附录2。8 展望第三定义最主要的特点是定义的简明统一性，它非常直观，便于记忆，特别在绘图上，增加中圆概念后，变得非常简单方便。如能将第三定义引入教材，对中学生学习圆锥曲线这一章会有很大帮助。公式(9)是第三定义的基础，在特定条件下可以由此公式导出标准方程，当没有这些特定条件存在时，曲线将如何变化？显然这是应该继续研究的。另外由第三定义还会导出哪些性质，比如双曲线的渐近线与准圆和中圆有什么关系等。此外，到两个定圆的距离相等的点轨迹是否是二次曲线？第三定义与空间圆锥又存在何种关系等问题值得进一步探讨。 9 结束语在本人及辅导教师的共同努力下，本文经历了近十次砺炼后终于初见结果，尤其感谢北京理工大学陆际联教授为我的论文作了最后的指导、鉴定和校订修改。这是一个终生难忘的过程，不仅使我对数学的学习产生了更为浓厚的兴趣，并对该学科的基础知识有了较深层次的理解，更是对自我创新能力的一次挑战，在这一既艰苦又兴奋的过程中，有成功的喜悦也有失败的痛楚，这使我深刻的体会到科技创新之路上的艰辛。虽然我现在的研究已有初步成果，但仍有很多部份值得推敲和继续的发现，科学的研究永无止境，知识的探寻永无止境，今后我应继续努力争取更大的突破。参考文献：（除1外均来自网站）1.全日制高级中学教科书 数学第二册上 人民教育出版社 2004 北京2.圆锥曲线的产生与发展 (山东胜利油田第一中学 ) 张洪杰 选自中学生数学2000年8月上3.圆锥曲线源起 4.圆锥曲线曲折史5.圆锥曲线的多种作法 张艺腾 6.以Sketchpad画圆锥曲线 子杰 香港道教 合会青松中学 EduMath 18 (6/2004)7.圆锥曲线概说 8.掀开圆锥曲线的面纱 梅全雄9.圆锥曲线中的数学美及其价值探讨 刘吉存 山东省胜利油田第二高级中学10.圆锥曲线准线的尺规作图法 胡保耀附录1 用第三定义推证圆锥曲线极坐标统一方程建立如附录图所示极坐标系，以为圆心，以为半径做准圆，准圆与极轴交点为，到极点的距离=，与为常数。动点到极点的距离为，到准圆的距离为。根据第三定义应有=，利用余弦定理可得到如下表达式： 附录1.1图= 有理化后，得： (A) 对于椭圆、双曲线取代入后得 （现有极坐标表达式）对于抛物线，将（A）式分子分母均除以，化简后得有 现有极坐标表达式）附录2圆锥曲线绘图仪的制作和使用从第三定义出发在给定中圆后能很简捷的得到三种标准圆锥曲线，那么从焦点、准圆、中圆出发也能制成圆锥曲线的统一绘图仪。附录2.1 制作原理以双曲线为例，说明绘图仪的制作原理。双曲线标准方程给出后，焦点、 均能在图8中确定，确定动点要有两条直线，一为，另一为，可作一带滑槽的直杆 ，令|=2，将端钉在左焦点上，点移动时即为准圆。制作一个相互垂直且带滑槽的十字杆，将交叉点定在上，点一侧将滑槽套在点上，另一侧将滑槽套在点上，点为中圆上一点，将图8中连线，其长度应为，作一直杆，令其长为，一端钉在上，另一端套在十字杆交叉点上，当点移动时，杆和杆及十字杆均移动，与的交点也在变动，其轨迹为双曲线。附录2.2 绘图仪制作过程用0.5mm厚的塑料薄板制成宽6mm长210mm带滑槽的杆称为准圆杆；宽6mm长80mm的杆称为中圆杆，用同样板制成宽260mm相互垂直带滑槽的十字杆。此三件可同时用于画双曲线、椭圆。在画抛物线时，十字杆仍可用，此外如图（9）所示，还要有代表准圆和中圆的两根直杆和一根带滑槽的杆。附录2.3 使用方法、注意事项和不足使用方法与附录2.1中制作原理基本相同，画图时所使用的笔头要插在两滑槽的中间。为使制图准确，销钉只采用大头针和图钉。不足是：由于三件工具在接近x轴正向时重叠的影响，会有一小段曲线画不出，因此要将准圆圆心由换到再画一次。画双曲线时当十字杆的一边与双曲线的渐近线相靠近时误差可能较大。文后所附照片为主要操作过程和所画出的曲线。附绘图仪照片：附录2.1图 绘图仪组件（共六件） 附录2.2图 椭圆画图开始注：长红条为抛物线的准圆杆、中长红条为抛物线的中圆杆、蓝色为抛物线的与准圆垂直的杆、短红条为椭圆和双曲线的中圆杆、绿色为十字杆、黄色为椭圆和双曲线的准圆杆。附录2.3图 椭圆画图过程 附录2.4图 绘图仪画出的完整椭圆附录2.5图 双曲线画图开始 附录2.6图 双曲线画图过程附录2.7图 绘图仪画出的完整双曲线 附录2.8图 抛物线画图开始附录2.9图 抛物线画图过程 附录2.10图 绘图仪画出的完整抛物线15- -