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斯坦纳-莱默斯定理

“如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形。”
这一命题的逆命题“等腰三角形两底角的平分线长相等”早在二千多年前的《原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述原命题在《原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796—1863），因而这一定理就称为斯坦纳-莱默斯定理。
继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。经过大家的努力，出现了许多构思巧妙的直接证法。下面给出德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811—1874）的证法，供大家欣赏。
如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。

证明：作，并取DF=BC，使F与C分居于直线BD的两侧，如图所示。连接BF，由已知BD=CE，得≌。
。
连接CF，设，则

因为，所以。在钝角中，BC=DF，CF=FC，所以≌，BF=CD，即BE=CD。于是有≌，。所以AB=AC。

——摘自谈祥柏《趣味数学辞典》，，上海辞书出版社