北师大版高中数学选修22推理与证明数学归纳法公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,北师大版高中数学选修2-2第一章推理与证明,4 数学归纳法,数学归纳法(1),法门高中姚连省制作,1,第1页,数学归纳法(1),2,第2页,一、教学目旳：1、使学生理解归纳法,理解数学归纳原理与实质。2、掌握数学归纳法证题两个环节；会用“数学归纳法”证明简朴与自然数有关命题。3、培养学生观测,分析,论证能力,深入发展学生抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识构建过程,体会类比数学思想。4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处在积极思索、大胆质疑气氛，提高学生学习爱好和课堂效率。5、通过对例题探究，体会研究数学问题一种措施(先猜测后证明),激发学生学习热情，使学生初步形成做数学意识和科学精神。,二、教学重点：能用数学归纳法证明某些简朴数学命题。,教学难点：明确数学归纳法两个环节必要性并对旳使用。,三、教学措施：探析归纳，讲练结合,四、教学过程,3,第3页,问题 1:大球中有5个小球，怎样证明它们都是,绿色？,问题,2:,完全归纳法,不,完全归纳法,问题,3：,某人看到树上乌鸦是黑，深有感触地说全世界乌鸦都是黑。,问题情境一,4,第4页,费马(Fermat)曾经提出一种猜测：,形如,F,n,2,2,n,+1(n=0,1,2,),数都是质数,1后,问题情境二,5,第5页,：由一系列有限特殊事例得出一般结论推理措施,结论一定可靠,结论,不,一定可靠,考察全体对象,得到一般结论推理措施,考察部分对象,得到一般结论推理措施,归纳法分为,完全归纳法,和,不,完全归纳法,归纳法,6,第6页,数学归纳法理论根据-多米诺骨牌效应动画-高三数学课件falsh.swf,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；,（相称于前牌推倒后牌）,怎样处理不完全归纳法存在问题呢？,怎样确保骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,（1）处理第一种问题；（相称于推倒第一块骨牌）,问题情境三,7,第7页,思索,:问题2中证实数列通项公式 这个猜测,与上述多米诺骨牌游戏有相同性吗?你能类比多米诺骨牌游戏处理这个问题吗?,由条件知,n=1时猜测成立.,假如n=k时猜测成立,即 ,那么当n=k+1时猜,想也成立,即,实际上,即n=k+1时猜测也成立.,8,第8页,对于由不完全归纳法得到某些与自然数有关自然数数学命题我们常采用下面措施来证明它们对旳性：,（1）证明当n取第一种值n0(例如n0=1)时命题成立;,（2）假设当n=k(kN*,k n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.,这种证明措施叫做 数学归纳法,数学归纳法,【归纳递推】,【归纳奠基】,9,第9页,框图表达,10,第10页,例1.用数学归纳法证明,11,第11页,1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，,当n1时，左边所得项是 ；,当n2时，左边所得项是 ；,1+2+3,1+2+3+4+5,A、1,B、1+a,C、1+a+a,2,D、1+a+a,2,+a,3,C,课堂练习：,12,第12页,例2.用数学归纳法证明：假如an是一种等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证实:(1)当n=1时,左边=a,1,右边=a,1,+（1-1）d=a,1,当n=1时，结论成立,(2)假设当n=k时结论成立，即,a,k,=a,1,+(k-1)d,则当n=k+1时,a,k,+1,=a,k,+d,=a,1,+(k-1)d+d,=a,1,+(k+1)-1d,当n=k+1时，结论也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN,*,都成立。,凑假设,结论,从n=k到n=k+1有什么改变,13,第13页,注意,1,.,用数学归纳法进行证实时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.,2,(1)(归纳奠基)是递推基础.找准n,0,(2)(归纳递推)是递推依据nk时命题成立作为必用条件利用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知定义、公式、定理等加以证实,14,第14页,例,3,用数学归纳法证实,【分析】(1)第一步应做什么?本题,n,0,应取多少?,n,0,=1,（2）在证传递性时，假设什么？求证什么?,假设1+3+5+.+（2k-1）=k,2,求证,1+3+5十.十(2k-1),十(2k+1)=(k+1),2,（3）怎样将假设,1+3+5+.+（2k-1）,=k,2,推理变形为,1+3+5十.十(2k-1),十(2k+1)=(k+1),2,15,第15页,证实：当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。假设n=k(kN,k1)时等式成立,即：,1+3+5+,+(2k-1)=k,2,，当n=k+1时：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1=k,2,+2k+1=(k+1),2,，,所以当n=k+1时等式也成立。由和可知，对nN，原等式都成立。,例3、用数学归纳法证实1+3+5+,+(2n-1)=n,2,（nN）.,请问：,第步中,“,当n=k+1时,”,证实可否改换为：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+,+(2k-1)+(2k+1),=(k+1),2,?为何？,16,第16页,1、用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2(nN)；,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立。,(2)假设当n=k时等式成立，就是,1+2+3+k=k(k+1)/2,那么，1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1),=(k+1)(k+1)+1/2,这就是说，当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN都成立。,练习：,17,第17页,2、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1(nN*),证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立。,(2)假设当n=k时等式成立，就是,1+2+22+2k-1 =2k-1,那么，1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 +2k,=22k-1,=2k+1-1,这就是说，当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN*都成立。,练习：,18,第18页,分析:找到,“,递推关系,”,就等于把握住处理问题,“,灵魂,”,。,有几项？,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例4对于nN*用数学归纳法证明：,实际上f(k+1)不仅比f（k）多一项，并且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k,f(k+1)=f(k)+1+2+3+k,19,第19页,证明：设f(n)=,(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立,(2)设当nk,时等式成立，即,则n=k+1时，,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+,+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1),=f(k)+1+2+3+k+(k+1),由（1）（2）可知当nN*时等式都成立。,20,第20页,1.数学归纳法是一种证明与正整数有关数学命题重要措施.重要有两个环节一种结论:,【归纳奠基】,（1）证明当n取第一种值n0（如 n0=1或2等）时结论对旳,（2）假设n=k时结论对旳，证明n=k+1时结论也对旳,（3）由（1）、（2）得出结论,【归纳递推】,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明结论,才算完整,归纳小结,21,第21页,作业:,书本习题1-4：3,补充题：,求证:,(,n+1)(n+2),(n+n)=2,n,1,3,(2n-1),证实：n=1时：左边=1+1=2，右边=2,1,1=2，左边=右边，等 式成立。,假设当n=k(kN）时有：,(k+1)(k+2),(k+k)=2,k,1,3,(2n-1),当n=k+1时：,左边=(k+2)(k+3),(k+k)(k+k+1)(k+k+2),=(k+1)(k+2)(k+3),(k+k),=2,k,1,3,(2k-1)(2k+1),2,=2,k+1,1,3,(2k-1),2(k+1)-1=右边，,当n=k+1时等式也成立。,由、可知，对一切nN,原等式均成立。,五、教学反思：,22,第22页,