北师大版高中数学选修22推理与证明数学归纳法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-2第第一章推理与证实一章推理与证实4 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法(1)(1)法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作1第1页数学归纳法数学归纳法(1)(1)2第2页一、教学目标：一、教学目标：1、使学生了解归纳法、使学生了解归纳法,了解数学归纳原理与了解数学归纳原理与实质。实质。2、掌握数学归纳法证题两个步骤；会用、掌握数学归纳法证题两个步骤；会用“数学归纳数学归纳法法”证实简单与自然数相关命题。证实简单与自然数相关命题。3、培养学生观察、培养学生观察,分析分析,论证能力论证能力,深入发展学生抽象思维能力和创新能力，让学生深入发展学生抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识构建过程经历知识构建过程,体会类比数学思想。体会类比数学思想。4、努力创设课堂愉、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于主动思索、大胆质疑气氛，提升学生学悦情境，使学生处于主动思索、大胆质疑气氛，提升学生学习兴趣和课堂效率。习兴趣和课堂效率。5、经过对例题探究，体会研究数学问、经过对例题探究，体会研究数学问题一个方法题一个方法(先猜测后证实先猜测后证实),激发学生学习热情，使学生初激发学生学习热情，使学生初步形成做数学意识和科学精神。步形成做数学意识和科学精神。二、教学重点二、教学重点：能用数学归纳法证实一些简单数学命题。：能用数学归纳法证实一些简单数学命题。教学难点：教学难点：明确数学归纳法两个步骤必要性并正确使用。明确数学归纳法两个步骤必要性并正确使用。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程3第3页问题问题 1:1:大球中有大球中有5 5个小球，怎样证实它们都是个小球，怎样证实它们都是 绿色？绿色？问题问题 2:2:完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 问题问题3：某人看到树上乌鸦是黑，深有某人看到树上乌鸦是黑，深有感触地说全世界乌鸦都是黑。感触地说全世界乌鸦都是黑。问题情境一问题情境一4第4页费马费马(Fermat)曾经提出一个猜测：曾经提出一个猜测：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)数都是质数数都是质数1后问题情境二问题情境二5第5页 ：由一系列有限特殊事例得出普：由一系列有限特殊事例得出普通结论推理方法通结论推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考查考查全体全体对象对象,得到普通结论得到普通结论推理方法推理方法考查考查部分部分对象对象,得得到普通结论推理到普通结论推理方法方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法6第6页数学归纳法理论依据数学归纳法理论依据-多米诺骨牌效应动画多米诺骨牌效应动画-高高三数学课件三数学课件falsh.swffalsh.swf（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌）怎样处理不完全归纳法存在问题呢？怎样处理不完全归纳法存在问题呢？怎样确保骨牌一一倒下？需要几个步骤才怎样确保骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）骨牌）问题情境三问题情境三7第7页思索思索:问题问题2中证实数列通项公式中证实数列通项公式 这个猜测这个猜测与上述多米诺骨牌游戏有相同性吗与上述多米诺骨牌游戏有相同性吗?你能类比多米诺骨你能类比多米诺骨牌游戏处理这个问题吗牌游戏处理这个问题吗?由条件知由条件知,n=1时猜测成立时猜测成立.假如假如n=k时猜测成立时猜测成立,即即 ,那么当那么当n=k+1时时猜猜想也成立想也成立,即即实际上实际上,即即n=k+1时猜测也成立时猜测也成立.8第8页 对于由不完全归纳法得到一些与自然数相关自然对于由不完全归纳法得到一些与自然数相关自然数数学命题我们常采取下面方法来证实它们正确性：数数学命题我们常采取下面方法来证实它们正确性：（1 1）证实当）证实当n n取第一个值取第一个值n n0 0(比如比如n n0 0=1)=1)时命题时命题成立成立;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证实当证实当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.这种证实方法这种证实方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳递推】【归纳奠基】【归纳奠基】9第9页框图表示框图表示10第10页例例1.用数学归纳法证实用数学归纳法证实11第11页1.用数学归纳法证实等式用数学归纳法证实等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：12第12页例例2.用数学归纳法证实：假如用数学归纳法证实：假如aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n=a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nN*nN*都成立。都成立。证实证实:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=a=a1 1,右边右边=a=a1 1+（1-11-1）d=ad=a1 1,当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立，时结论成立，即即 a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时 a ak k+1+1=a=ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知,等式对于任何等式对于任何nNnN*都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么有什么改变改变13第13页注意注意 1 1.用数学归纳法进行证实时用数学归纳法进行证实时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推基础是递推基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推依据是递推依据n nk k时命时命题成立作为必用条件利用，而题成立作为必用条件利用，而n nk+1k+1时情时情况则有待利用假设及已知定义、公式、定理况则有待利用假设及已知定义、公式、定理等加以证实等加以证实14第14页 例例3用数学归纳法证实用数学归纳法证实【分析】【分析】(1)第一步应做什么第一步应做什么?本题本题n0应取多少应取多少?n0=1,（2）在证传递性时，假设什么？求证什么）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设假设1+3+5+.+（2k-1）=k2求证求证1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2（3）怎样将假设）怎样将假设1+3+5+.+（2k-1）=k2推理变形为推理变形为1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)215第15页证实：证实：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。假设假设n=k(kN,k1)n=k(kN,k1)时等式成立时等式成立,即：即：1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2，当当n=k+1n=k+1时：时：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2，所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由和和可知，对可知，对nN nN，原等式都成立。，原等式都成立。例例3 3、用数学归纳法证实、用数学归纳法证实1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN）.请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”证实可否改换为：证实可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)=(k+1)2 2?为何？为何？16第16页1 1、用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：1+2+3+n=n(n+1)/2(nN)；证实证实:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立。等式是成立。(2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是1+2+3+k=k(k+1)/2那么，那么，1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。所以所以,依据依据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN都成立。都成立。练习：练习：17第17页2、用数学归纳法证实：、用数学归纳法证实：1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)证实证实:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立。等式是成立。(2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是1+2+22+2k-1=2k-1那么，那么，1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k=22k-1=2k+1-1这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。所以所以,依据依据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN*都成立。都成立。练习：练习：18第18页分析分析:找到找到“递推关系递推关系”就等于把握住处理问题就等于把握住处理问题“灵魂灵魂”。有几项？有几项？是什么是什么,它比它比多出了多少，是首要问题。多出了多少，是首要问题。例例4对于对于nN*用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：实际上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k19第19页证实：设证实：设f(n)=(1)当当n1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立，等式成立 (2)设当设当nk,时等式成立，即时等式成立，即则则n=k+1时，时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)由（由（1）（）（2）可知）可知当当nN*时等式都成立。时等式都成立。20第20页1.1.数学归纳法是一个证实与数学归纳法是一个证实与正整数正整数相关数学相关数学命题主要方法命题主要方法.主要有两个步骤一个结论主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】【归纳奠基】（1）证实当）证实当n取第一个值取第一个值n0（如（如n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证实时结论正确，证实n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推】【归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整归纳小结归纳小结21第21页作业作业:书本习题书本习题1-41-4：3 3 补充题：补充题：求证求证:(n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证实：证实：n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边=右边，等右边，等 式成立。式成立。假设当假设当n=k(kN n=k(kN）时有：）时有：(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3(2n-1),(2n-1),当当n=k+1n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k)=2 =2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 =2 =2k+1k+11 1 3 3(2k-1)(2k-1)2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边，当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由 、可知，对一切可知，对一切nN,nN,原等式均成立。原等式均成立。五、教学反思：五、教学反思：22第22页