人教B版高中数学选修22推理与证明3数学归纳法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

2.3 数学归纳法（1）第1页内容：内容：应用:1、用数学归纳法证实等式数学归纳法原理:（1）证实当n取第一个值n0(比如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(kN*,k n0)时命题成立,证实当n=k+1时命题也成立.【归纳递推】2、能用数学归纳法证实一些简单数学命题.数学归纳法第2页 本课主要学习数学归纳法。以三个小例子引入新课，接着观看视频,思索多米诺骨牌游戏原理是什么?引出数学归纳法原理和概念.明确用数学归纳法证实命题两个步骤.会用数学归纳法证实简单与正整数相关数学恒等式.注意:在验证命题正确性时,极易脱离归纳假设.在讲述数学归纳法应用时，采取例题与变式结合方法，经过例1和变式1巩固掌握掌握数学归纳法证题两个步骤；会用“数学归纳法”证实简单与整数相关命题,明确由n=k到n=k+1增项问题.经过例2和变式2明确:在验证命题正确性时,极易脱离归纳假设。采取一讲一练针对性讲解方式，重点了解数学归纳法应用。第3页问题1:大球中有5个小球，怎样证实它们都是 绿色？问题2:完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑，深有感触地说全世界乌鸦都是黑。第4页 ：由一系列有限特殊事例得出普：由一系列有限特殊事例得出普通结论推理方法通结论推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考查考查全体全体对象对象,得到普通结论得到普通结论推理方法推理方法考查考查部分部分对象对象,得得到普通结论推理到普通结论推理方法方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法第5页经过观看视频，大家一起讨论一下经过观看视频，大家一起讨论一下:普通地，多米诺普通地，多米诺骨牌游戏原理是什么？骨牌游戏原理是什么？(条件是什么）条件是什么）多米诺骨牌有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么方法？么方法？怎样处理不完全归纳法存在问题呢？怎样处理不完全归纳法存在问题呢？第6页 第一块骨牌倒下；任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定造成后一块倒下两个条件作用：条件：奠基；条件：递推关系第7页 对于由不完全归纳法得到一些与正整数相对于由不完全归纳法得到一些与正整数相关数学命题，我们常采取下面方法来证实它们关数学命题，我们常采取下面方法来证实它们正确性：正确性：（1 1）证实当）证实当n n取第一个值取第一个值n n0 0(比如比如n n0 0=1)=1)时命题时命题 成立成立;【归纳奠基归纳奠基】（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立证实当证实当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.这种证实方法叫做这种证实方法叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推归纳递推】第8页框图表示框图表示第9页例1.用数学归纳法证实第10页1.用数学归纳法证实等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n1时，左边所得项是 ；当n2时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C第11页例例2 2 用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：证明 （1 1）当）当n n=1=1时，等式左边时，等式左边 等式右边等式右边 所以等式成立所以等式成立.（2 2）假设）假设 n n=k k（k k N N+）时等式成立，）时等式成立，那么当那么当n n=k k+1+1时，时，即即n n=k k+1+1时等式成立时等式成立.由（由（1 1）（）（2 2）可知，）可知，对任意对任意n n N N+等式均成立等式均成立第12页 用数学归纳法证实用数学归纳法证实1+3+5+(2n 1)=n2 证实证实:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时命题成立时命题成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据第13页D第14页 2.用数学归纳法证实：假如用数学归纳法证实：假如aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nN*nN*都成立。都成立。证实证实:(1)(1)当当n=1n=1时时,左边左边=a=a1 1,右边右边=a=a1 1+（1-11-1）d=ad=a1 1,当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立，时结论成立，即即 a ak k=a=a1 1+(k-1)d +(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时a ak k+1+1=a=ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知,等式对于任何等式对于任何nNnN*都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么改变有什么改变第15页1.数学归纳法是一个证实与正整数相关数学命题主要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】（1）证实当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证实n=k+1时结论也正确 （3）由（1）、（2）得出结论【归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘记。第16页布置课后作业,巩固延伸铺垫(1)(1)书本第书本第6464页练习第页练习第1,21,2题；第题；第6767页习题页习题2.12.1第第2 2题题(2)(2)(辨析与思索辨析与思索)1.1.用数学归纳法证实用数学归纳法证实 1+2+22+23+2n=2n1(n N*)时时,其中第二步采取下面证法：其中第二步采取下面证法：设设nk时等式成立时等式成立,即即1+2+22+23+2k1=2k1,则则当当nk1时时,即即nk1时等式也成立时等式也成立 第17页2.2.求证求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证实：证实：n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边=右边，等右边，等 式成立。式成立。假设当假设当n=k(kN n=k(kN）时有：）时有：(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+1)(k+2)(k+k)=2k k 1 1 3 3(2n-1),(2n-1),当当n=k+1n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2 =2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 =2 =2k+1k+11 1 3 3(2k-1)(2k-1)2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边，当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由 、可知，对一切可知，对一切nN,nN,原等式均成立。原等式均成立。第18页