湖北省黄冈市XXXX年高三年级3月份质量检测理数.docx

黄冈市2012年高三3月质量检测
数学参考答案（理科）
一．选择题：每小题5分,满分50分.
A卷：D A C C B D ABC B
B卷：D B C C A DB AC A
二．填空题：每小题5分,满分25分.
11. 9 12. 6.2（如果答案为6照样给满分） 13. 14. -160 15. A.1 B.
三. 解答题:本大题共6小题,满分75分.
16．（1）∵cosB=，∴sinB=，由正弦定理，得，
∴a=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）
（2）∵△ABC的面积S=ac·sinB，
∴ac×=3，ac=10．　　由余弦定理b2=a2+c2－2accosB得
4=a2+c2－ac= a2+c2－16，∴a2+c2=20
∴(a+c）2=a2+c2+2ac=20+2×10=40，∴a+c=2．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
17．（1）记第一班车在8∶20和8∶40发车的事件分别为A和B，且A、B互斥
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=+=．……………………………….(4分)
（2）设该旅客候车时间为（分钟），则的分布列为

10
30
50
70
90
P

×
×
×
…………………(8分)
∴E=10×+30×+50×+70×+90×=30（分钟）
∴该旅客候车时间的数学期望是30分钟．…………..(12分)
18．（Ⅰ）由 题意得, 公差
所以………………………………………….(4分)
由
得 所以……………………………….…………..(8分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
……………………..(12分)
19．（1）证明：在矩形ACC1A1中，AC1=3，AA1=,AC=.∴AB2=AC2＋BC2,BC⊥AC.
A
B
C
C1
A1
B1
D
M
E
H
x
y
z
又已知A1A⊥平面ABC，
BC⊥AA1，∴BC⊥平面ACC1A1．……………. (4分)
（2）分别取BB1中点M和AB中点E，由DM∥B1C1，EM∥AB1，
得平面EMD∥平面AB1C1，
所以E为AB中点时，DE∥平面AB1C1．………….…..(8分)
（3）以C为坐标原点，CB、CC1、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，），C1（0，，0），B1（1，，0），A1（0，，），D（0，，0）．
设=（x，y，z）是平面ABB1的一个法向量．
由得，取z=1，则=（，0，1）
又=（0，－，－）是平面AB1C1的一个法向量
且<，>与二面角B－AB1－C1的大小相等
cos<，>=，所以所求二面角的余弦值大小为…..(12分)
20．（1）因为，所以，
，椭圆方程为： …………（4分）
（2）由(1)得，所以，假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得
设，则 ①，

设的中点为，则，……………………….…………（8分）
即
…………………………...……(10分)
当时，，即存在这样的直线；
当，不存在，即不存在这样的直线．……………………………….(13分)
21．（1）f（x）=2x+x2关于1可线性分解，理由如下：
令h（x）=f（x+1）－f（x）－f（1）=2x+1+（x+1）2－2x－x2－2－1
化简得h（x）=2（2x－1+x－1），h（0）=－1，h（1）=2
所以h（x）在（0，1）上至少有一个零点，
即存在x0∈（0，1）使f（x0+1）=f（x0）+f（1）．……………….……………….(4分)
（2）由已知，存在x0，使g（x0+a）=g（x0）+g（a）
即ln（x0+a）－a（x0+a）+1=lnx0－ax0+1+lna－a2+1
化简得ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即ln
∴，x0=＞0，考虑到a＞0，得a＞．…………………………(8分)
（3）由（2）知a=1，g（x）=ln x－x+1
g'（x）=－1=．
（i） x∈（0，1）时，g'（x）＞0，∴g（x）的增区间是（0，1）
x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）的减区间是（1，+∞）……...(10分)
（ii）由（i）知x∈（0，+∞）时，g（x）≤g（1），即lnx－x+1≤0，lnx≤x－1
ln1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，ln n＜n－1（n∈N*）
相加得：ln1+ln2+…+ln n≤1+2+…+（n－1）
即ln n！≤，∴（n！）2≤en（n－1）（以上不等式中当n=1时取“=”号）．…(14分)

命题人：黄梅一中 朱晓宇
审题人：蕲春一中 宋春雨
黄州区一中 杨安胜
黄冈市教科院 丁明忠