三角形全等之截长补短(习题).doc

三角形全等之截长补短（习题）
Ø 例题示范
例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD且BD=CD，∠DBC=45°．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，连接AF．
求证：CF=AB+AF．

【思路分析】
题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．
① 考虑截长的方法，如图所示：

在线段CF上截取CH=AB，连接DH，只需证明AF=HF即可．
结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌
△HDF，从而得到AF=HF，证明成立．
② 考虑补短的方法，如图所示：

延长BA交CD的延长线于点H，只需证明BH=CF，AH=AF即可．
可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌△ADH，从而得到BH=CF，AH=AF，证明成立．
【过程书写】
（截长的方法）
在线段CF上截取CH=AB，连接DH．

∵BD⊥CD，BE⊥CE
∴∠BEF=∠FDC=90°
∴∠EBF+∠EFB=90°
∠FCD+∠DFC=90°
∵∠EFB=∠DFC
∴∠EBF=∠FCD
在△ABD和△HCD中，

∴△ABD≌△HCD（SAS）
∴AD=HD，∠ADB=∠HDC
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC=45°
∴∠HDC=45°
∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°
∴∠ADB=∠HDF
在△ADF和△HDF中，

∴△ADF≌△HDF（SAS）
∴AF=HF
∴CF=CH+HF=AB+AF

Ø 巩固练习
1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．
求证：AC=AB+BD．

2. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．
求证：AE=AD+BE．

3. 如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．
求证：BC=AB+CE．

4. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．
求证：BE+DF=AE．

Ø 思考小结
1. 证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．
常见构造辅助线的方法：
①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．
②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．
2. 利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BCAB．

【参考答案】
Ø 巩固练习
1. 证明略
提示：
方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，
再证明CE=DE；
方法二：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，证明△ADE≌△ADC．
2. 证明略
提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
4. 证明略
提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．
Ø 思考小结
1. 倍长中线，截长补短
2. 证明略
提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=BD，所以BC=AB．

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