特殊的平行四边形综合训练题.doc

菱形综合训练题
1. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．
（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．

2. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．

3. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

4.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．

5. 如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．

6. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且
∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．

7. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

8.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
求证：四边形AEBD是菱形；

9.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．

10. 如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM=ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．

11．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

12．如图：将两张平行且宽度相等的纸条交叉重叠在一起，点A、B、C、D分别是纸条平行边的交点．求证：四边形ABCD是菱形．

13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，求证：DE=AC．

14．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．

15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E，若AB=10，AC=12，求四边形CODE的周长．

16．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．

17．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB=AC=BC=10，求四边形AEDF的面积S．

18．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．
（1）求证：∠BAF=∠DAF，∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说理由．

21．如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，AE=CF，顺次连接D、E、B、F，已知四边形DEBF是菱形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAD=60°，AD⊥DF，求证：AE=EF．

22．如图，在△ABC中，AB=AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B=30°，AB=12，求四边形AEDF的面积．

23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠ABC=90°，求菱形BCFE的面积．

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分別交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=6，AE=5，求四边形AECF的面积．

25．四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC=8，BD=6，求DE的长度．

26.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

27.如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

矩形综合训练题
　 1．已知：矩形ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G，H两点．求证：EG=FH．

2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，AE∥BD，BE∥AC．
（1）如图1，求证：四边形AEBO是菱形；
（2）如图2，当∠ADB=30°，连接CE交BD于点F，连接AF，若BE=2，求AF的长度．

3．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：▱ABCD是矩形．

4．如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC边交于点E，点P是线段AE上一定点（其中PA＞PE），过点P作AE的垂线与AD边交于点F（不与D重合）．一直角三角形的直角顶点落在P点处，两直角边分别交AB边，AD边于点M，N．
（1）求证：△PAM≌△PFN；
（2）若PA=3，求AM+AN的长．

5．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．

6．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，若AB=6，BC=8．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）求图中阴影部分的面积．

7．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

8．如图，O为矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，若DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状，并说明理由．

9．如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒．
（1）求AB与BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；
②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．

11．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当AE=3时，求四边形BEDF的面积．

12．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．

13．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG=CH，BE=DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG=EH，AB=8，BC=4．求AE的长．

14．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．
（1）求证：F是AB的中点；
（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．

15．如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB=AE，连结AD、BE．
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；
（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．

16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，且∠ODE=15°．（1）求证：CO=CE；（2）求∠OED的度数．

17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值．

18．如图，平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？
②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

19．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．
（1）求证：FG∥DE；（2）若AC=BC，求证：四边形EDFG是矩形．

20．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．

21．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．
（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案　 　．

正方形综合训练题
1．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE=EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE=EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

4．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）
（1）如图1，在正方形ABCD（四条边都相等，每个内角都是90°）中，E是AB上一点，G是AD上一点，F是AD延长线上一点，且∠GCE=45°，BE=DF．求证：GE=BE+GD．
（2）如图2，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD=CB，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．

5．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．

6．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）连接BF，若AD=5，AF=3，求BF的长．

7．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP=MN．

8．如图，已知在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，F为AB延长线上一点，连结AE、EF、CF，且满足△ABE≌△CBF．
（1）若∠BAE=20°，求∠EFC的度数；
（2）试判断AE与CF之间的位置关系，并说明理由．

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当D为边BC的中点，且BC=2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G．
（1）BE与AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由；
（2）求AF的长．

11．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，求证：∠AEF=90°．

12．如图，菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）猜测：当AB=BC满足条件　 　时，四边形AEOF是正方形，请说明理由．

13．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．
（1）求证：△BEC≌△DFC；
（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO并延长到点E，使∠EAB=∠C，连接BE．
（1）求证：BC∥AE；
（2）求证：四边形AEBD是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG=EC．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，E，F是垂足，那么四边形CEDF是正方形吗？说出理由．

17．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．

18．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形内作一个等边三角形ABE，求：（1）∠ACE的度数；
（2）求∠CAE的度数．

19．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连结AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求EF的长．

20．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

21.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．