《第21章一元二次方程》单元达标测含答案.doc

《第21章 一元二次方程》

一、精心选一选：
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0
2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25 C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25
4．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
5．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定
9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）
A．x（13﹣x）=20 B． C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3

二、细心填一填：
11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是______，该方程根的情况是______．
12．方程2﹣x2=0的解是______．
13．配方x2﹣8x+______=（x﹣______）2．
14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为______．
15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为______．
16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm．（精确到0.1cm）

三、耐心答一答：
17．用指定的方法解方程
（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）
（2）x2+4x﹣5=0（配方法）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）
（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）
18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？
19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．
20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．
（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；
（2）经过多少秒钟，球又落到地面．
21．阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是______．
22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；
（2）求3月份时该电脑的销售价格．
26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y2
21
44
69
（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

《第21章 一元二次方程》
参考答案与试题解析

一、精心选一选：
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0
【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；
B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；
C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，错误．
故选C．

2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．

3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25 C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25
【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2=25．
故选：C．

4．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【解答】解：设方程的另一个根是x，
依题意得，
解之得x=1，
即方程的另一个根是1．
故选B．

5．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：把x=b代入方程x2+cx+b=0得到：b2+bc+b=0即b（b+c+1）=0，又∵b≠0，∴b+c=﹣1，
故本题选B．

6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【解答】解：分类讨论：
①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1．
故选：A．

7．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k2，方程有两个不相等的实数根
∴△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4k2=1﹣4k＞0
∴k＜
∴k的最大整数为0．
故选C．

8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定
【解答】解：由方程x2+mx+1=0得x2=﹣mx﹣1，由方程x2﹣x﹣m=0得x2=x+m．
则有﹣mx﹣1=x+m，即x=﹣1．
把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0，
得方程1﹣m+1=0，从而解得m=2．
故选A．

9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）
A．x（13﹣x）=20 B． C． D．
【解答】解：平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，
∴．
故选B．

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3
【解答】解：由勾股定理可得：AO2+BO2=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=﹣2m+1，AO•BO=m2+3
∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）=25，
整理得：m2﹣2m﹣15=0，
解得：m=﹣3或5．
又∵△＞0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，
∴m=﹣3，
故本题选A．

二、细心填一填：
11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是　3x2﹣6x+4=0　，该方程根的情况是　无实数根　．
【解答】解：3x（x﹣2）=﹣4，
3x2﹣6x+4=0，
∵△=（﹣6）2﹣4×3×4=﹣12＜0，
∴无实数根．
故答案为：3x2﹣6x+4=0；无实数根．

12．方程2﹣x2=0的解是　　．
【解答】解：移项，得x2=2
开方，得x=±．

13．配方x2﹣8x+　16　=（x﹣　4　）2．
【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，
∴常数项为（﹣8÷2）2=16，
∴x2﹣8x+16=（x﹣4）2．
故答案为16；4．

14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为　2012　．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，
∴a2+a﹣2013=0，
∴a2+a=2013，
又∵a+b=﹣=﹣1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013﹣1=2012．
故答案为：2012．

15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　6，10，12　．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；
当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．

16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为　6.7　cm．（精确到0.1cm）
【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x，
根据题意列方程得：（92+x）÷（153+x）≈0.618，
解得x≈6.69，精确到0.1cm为，6.7cm．

三、耐心答一答：
17．用指定的方法解方程
（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）
（2）x2+4x﹣5=0（配方法）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）
（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）
【解答】解：（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）
x+2=±5
∴x1=3，x2=﹣7．
（2）x2+4x﹣5=0（配方法）
（x+2）2=9
x+2=±3
∴x1=﹣5，x2=1；
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）
（x+2﹣5）（x+2﹣5）=0
∴x1=x2=3；
（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）
x=
x1=3，x2=．

18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？
【解答】解：根据题意得：
x（x﹣1）=（x﹣2）+1，
3x（x﹣1）=2（x﹣2）+6，
3x2﹣3x=2x﹣4+6，
3x2﹣3x﹣2x+4﹣6=0，
3x2﹣5x﹣2=0，
（3x+1）（x﹣2）=0，
3x+1=0或x﹣2=0，
x1=﹣，x2=2．

19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．
【解答】解：根据二次方程根与系数的关系，可得x1•x2=﹣2，x1+x2=﹣，
而已知其中一根为﹣5，有（﹣5）•x2=﹣2，可得x2=，
又有x1+x2=﹣，解可得k=23；
答：k=23，另一根为．

20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．
（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；
（2）经过多少秒钟，球又落到地面．
【解答】解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t﹣t2得，
7t﹣t2=10，
解得t1=2，t2=5，
答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；
（2）把h=0代入函数解析式h=7t﹣t2得，
7t﹣t2=0，
解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间），
答：经过7秒钟，球又落到地面．

21．阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是　x1=﹣3，x2=2　．
【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3=0，
即x2﹣x=0
解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3=0
即x2+x﹣6=0，
解得x1=﹣3，x2=2．
所以原方程的根是x1=﹣3，x2=2．

22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
【解答】解：（1）由题意知：△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，
解得m≥．
∴当m≥时，方程有两个实数根．

（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）
方程为x2﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2．

23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b．
∴4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，
则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）=0，
∴（b﹣a）（c﹣a）=0，
∴b﹣a=0或c﹣a=0，
∴b=a，或c=a．
∴此三角形为等腰三角形．

24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

【解答】解：设花边的宽为x米，
根据题意得（2x+8）（2x+6）=80，
解得x1=1，x2=﹣8，
x2=﹣8不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．

25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；
（2）求3月份时该电脑的销售价格．
【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，
由题意得：400000（1+x）2=576000，
1+x=±1.2，x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；

（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，
由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）=576000，
y2﹣3000y+1760000=0，（y﹣800）（y﹣2200）=0，
∴y=800或y=2200，
当y=2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200=1800＜3000不合题意舍去．
∴y=800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=3200元．
∴3月份时该电脑的销售价格为3200元．

26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y2
21
44
69
（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
【解答】解：（1）根据表中的数据可得
．
答：a、b的值分别是1、20；

（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．
﹣n2+40n+n2+20n=1140
n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元），
答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．

（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，
即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m2+40m）﹣[﹣（m﹣1）2+40（m﹣1）]=﹣2m+41．
乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m2+20m）﹣[（m﹣1）2+20（m﹣1）]=2m+19，
（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，
解得：m≥7，
答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．