三角形全等证明综合题.doc

三角形全等证明总结

一 证明题目时常用的三种方法
在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：
（1）综合法
就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．
例如：如图13-2-10，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E、F．

求证：BF＝DE．

分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下
△BFD≌△DEC（ASA）
BF＝DE（目标）．
以上这种由因导果的方法就是综合法．
（2）分析法
就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．
如上题，用分析法的探索过程如下：
BF＝DE△BFD≌△DEC
（3）分析—综合法
在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面．
即：

例如：如图13-2-11，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD上任一点，连接EB、EC，

求证：EB＝EC．

分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．
先用综合：由因导果．
△ABD≌△ACD
再用分析：执果索因．
EB＝EC△ABE≌△ACE△ABD≌△ACD．
证明：∵　D是BC的中心，∴　BD＝CD．
在△ABD和△ACD中
∴　△ABD≌△ACD（SSS）．∴　∠BAD＝∠CAD．
在△ABE和△ACE中
∴　△ABE≌△ACE（SAS）．
∴　BE＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE≌△CDE，方法同上．
②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．

二 如何选择三角形判定全等
在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：
（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．
（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．
（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．
三、二次全等问题
1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．
求证：BO＝DO．

2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.

四 难题选讲
（旋转类型）
1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证： （1）EC=BF；（2）EC⊥BF

A
E
B
M
C
F

2.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，
（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？
（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？

3.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

4、已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°．
(1)当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系怎样？说明理由。
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙， (1)中的结论是否还成立？为什么？

（线段和差问题）

1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.

2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CE^AB 于E，且ÐB+ÐD=180°，求证：AE=AD+BE

（垂直类型）
1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取
CG=AB，连结AD、AG。
求证：（1）AD=AG，
（2）AD与AG的位置关系如何。

3.已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.
求证:AG⊥AF
B
C
D
A
G
E
F

4、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
图1
图2
D
C
E
A
B

5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．
（1）求证：；
（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

6、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
(!)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=BF；

7. D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。