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第4讲 指数与指数函数
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为 ( )．
A．0 B. C．1 D.
解析 由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan＝tan＝.
答案 D
2．(2012·天津)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log5 2，则a，b，c的大小关系为( )．
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
解析 a＝21.2>2，而b＝－0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b<a.
答案 A
3．(2013·佛山模拟)不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
答案 C
4．定义运算：a*b＝如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为 ( )．
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析 f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤1.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·太原模拟)已知函数f(x)＝
满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析 对任意x1≠x2，都有<0成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0<a<1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0<a≤.
答案
6．若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是________．
解析 当x>0时，有f(x)<0；当x<0时，有f(x)>0.
故f(f(x))＝＝
而当x>0时，－1<－2－x<0，则<2－2－x<1.
而当x<0时，－1<－2x<0，则－1<－2－2x<－.
则函数y＝f(f(x))的值域是∪
答案 ∪
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证f(x)在R上为增函数．
(1)解 因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)证明 设x1，x2∈R，且x1<x2，有
f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵x1<x2,2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，
∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．
8．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－.解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga 2＋6，则a的值为 ( )．
A. B. C．2 D．4
解析 由题意知f(1)＋f(2)＝loga2＋6，即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．
答案 C
2．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的 ( )．
解析 函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数f(x)＝且f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析 由已知得f(1)＝21＋1＝3，故 f(f(1))>3a2⇔f(3)>3a2⇔32＋6a>3a2.解得－1<a<3.
答案 (－1,3)
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析 x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝－(a∈R)．
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－＝4x－a·2x，
∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．
令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－2＋，
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1<<2，即2<a<4时，g(t)max＝g＝；
当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.
综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；当2<a<4时，f(x)的最大值为；当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝a ln 2×2x－ln 4×4x＝2xln 2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4.
6．(13分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)当x<0时， f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，
∵2x>0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
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