立体几何中用传统法求空间角.doc

-立体几何中的传统法求空间角
知识点：
一．异面直线所成角：平移法
二．线面角
1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。
2.用等体积法求出点到面的距离 sinA=d/PA

三．求二面角的方法
1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；
2、三垂线法找二面角的平面角.
例一：如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是______90______.
考向二 线面角
例二、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

练习： 如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，

考向三： 二面角问题
在图中做出下面例题中二面角
例三：.定义法（2011广东理18）
如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60，,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点．
（1） 证明：AD 平面DEF;
（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．

法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。
因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG
又PB//EF，得，而DE//GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。

（2），
为二面角P—AD—B的平面角，
在
在

法二：（1）取AD中点为G，因为
又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。
延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，
所以PO 平面ABCD。
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设

由于
得
平面DEF。
（2）

取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取

2、三垂线定理法
例四．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为？

18．（本小题满分14分）
（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中，，
．……… 4分
∴点到平面的距离为． ………………………………………………… 8分
（3）解：过作交于，连接．由三垂线定理可知，为二面角的平面角．
∴，，． ……………………… 10分，∴．…………………… 12分
∴，．
故时，二面角的平面角为．…………………………… 14分
练习. 如图，在四面体中，,且，二面角大小为．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．解：(1)在四面体中，取中点分别为
，连接，则
,则
又则
中， ,
可知
又面,则
和两相交直线及均垂直，从而面
又面经过直线，故面面…………………………(6分)

(2)由(1)可知平面平面
过向作垂线于足，从而面
过中，，则
于是与平面所成角即

因此直线与平面所成角的正弦值为.…………………………(12分)

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