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韦达定理的应用
一、典型例题
例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x1，则相加，得x

例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.
解：∵ 又
∴代入得， ∴新方程为
例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？
解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为
∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组
解：设 ∴.
∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.
∴解方程组 ∴可解得

例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值
解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。 又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且
∴ ∴
∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S.
例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根
① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数
解：①∵ ∴m>7
②∵
∴不存在这样的情况。
③
∴m<7
④
∴m=7
⑤
∴m=15.但使
∴不存在这种情况
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于
2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=
3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（ ）
A．±8 B.8 C.－8 D.±4
4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？
5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。

【试题答案】
1. －1 2. 4，1 3. A 4. a=1或13
5. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解
6. 13

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．
(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，
即x1x2－x1－x2＋1＝199．
∴(x1－1)(x2－1)＝199．
注意到x1－1、x2－1均为整数，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．
解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．
于是x1x2＋x1＋x2＝11，
即(x1＋1)(x2＋1)＝12．
∵x1、x2为正整数，
解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．
故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．
解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．
若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得
∴x1x2－x1－x2＝2，
(x1－1)(x2－1)＝3．
因为x1－1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．
(’97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得
α＋β＝p，αβ＝－q．
于是p＋q＝α＋β－αβ，
＝－(αβ－α－β＋1)＋1
＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
〖大纲要求〗
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一

元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，

如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的

方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

考查题型
1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0
4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）

（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0
5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，

那么x1•x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝
7．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

8．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1•x2＝ ，（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝

二、考点训练：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=0
2、 当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根

是 ；若两根之和为－3/5 ，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、 求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－√5 和1+√5 。

7、 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1
解题指导

1、 如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;
2、 方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m= ;

3、 已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、 设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ;

5、 设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1
＊6.实数s、t分别满足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值。
7.已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？
8.求证：不论k为何实数，关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分解成两个一次因式的积。
9．实数K在什么范围取值时，方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？
独立训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;
(3)5(u2+1)－7u=0, ;
2、 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+√3 和2－√3 ，则p= ,q= ;
4、 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
5、 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;
6、 m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn= 。
7、 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;
8、 如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;
9、 已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形
10.取什么实数时，二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.
11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β，若s＝1/α ＋1/β ，求s的取值范围。
独立训练（二）
1、 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
2、 如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 ;
3、 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ，则k= ;
4、 若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;
6、 若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;
7、 已知p<0,q<0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;
8、 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x2
10．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。
12．是否存在实数k，使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2，满足｜x1/x2 ｜＝3/2 ，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。