专题——三角函数值域与最值.doc

三角函数的值域和最值
1.正弦函数
y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1 .
2.余弦函数
y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1
3.正（余）切函数
y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最值.
4. asinx+bcosx型函数

其中 ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)
练习题
1．.若sinx≥1/2，则x的范围是____________________________；若√3+2cosx＜0，则x的范围是 ；
若tanx≤1,则x的范围是________________________；若sin2x＞cos2x，则x的范围是__________________________
( 2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6，k∈Z；2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6，k∈Z；kπ-π/2<x≤kπ+π/4，k∈Z；kπ+π/4<x<kπ+3π/4，k∈Z )
2．函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D
(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]
【x有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】
3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A
(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)2
4.设 ，则t的取值范围是( ) B
(A) (B)
(C) (D)
5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) B
(A)是增函数 (B)可以取得最大值M
(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M
6．已知△ABC中， ，求使取最大值时∠C的大小.
【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】
7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x∈[0，π/2]呢？
【此为sinx+cosx与sinx·cosx型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx，sinx·cosx的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】
8．求函数的值域
【此为型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求的值域呢? 】
9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a＞0，求a,b的值
【上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】

10．.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上．
(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q
(2)当θ变化时求P/Q的最小值．
【此题为 型三角函数．当sinx＞0且a＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】

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