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矩阵的定义及其运算规则

1、矩阵的定义
一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或
。即：
                    （2-3）
我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。

2、三角形矩阵
由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：
，  ，， 。

3、单位矩阵与零矩阵
在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：

则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如： ，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：

当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。

4、矩阵的加法
矩阵A＝（aij）m×n和B＝（bij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（cij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：

式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
    由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：
    （1）交换律：A＋B＝B＋A   
    （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）

5、数与矩阵的乘法
我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：

由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：
（1） k（A＋B）＝kA＋kB
（2）（k＋h）A＝kA＋hA
（3） k（hA）＝khA

6、矩阵的乘法
若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若：

则矩阵的元素由定义知其计算公式为：
                  （2-4）
【例2-1】  设有两矩阵为：， ，试求该两矩阵的积。
【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：

其中：

【例2-2】  已知：A＝，B＝，求A、B两个矩阵的积。
【解】计算结果如下：
矩阵的乘法具有下列性质：
（1）通常矩阵的乘积是不可交换的。
（2）矩阵的乘法是可结合的。
（3）设A是m×n矩阵， B、C是两个n×t矩阵，则有：A（B＋C）＝AB＋AC。
（4）设A是m×n矩阵，B是n×t矩阵。则对任意常数k有：k（AB）＝（kA）B＝A（kB）。
【例2-3】   用矩阵表示的某一组方程为：
                    （2-5）
式中：
           （2-6） 
试将矩阵公式展开，列出方程组。
【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得：
                             （2-7）
将上式右边计算整理得：
                                 （2-8）
可得方程组：

可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵，称为误差方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。
【例2-4】  设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。

【解】现记：
                 （2-9）
则条件方程组可用矩阵表示成：
                                               （2-10）
上式中称为条件方程组的系数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。