新人教版垂径定理课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2 垂径定理,光山县永济中学 黄克生,？,1,、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,.,2,、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？,圆是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,问题：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4,m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2,m,，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,?,思,考,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，和,重合，和重合,直径平分弦，并且,平分及,O,A,B,C,D,E,即,，,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,AM=BM,由,CD,是直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,几何语言表达,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,O,E,D,C,A,B,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD,过圆心,CDAB,于,E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？,如图,:,AB是O的一条弦,，直径,CD,交,AB,于,M,，,AM=BM,垂径定理的推论,O,A,B,C,D,M,连接,OA,OB,则,OA=OB.,在,OAM,和,OBM,中,OA=OB,，,OM=OM,，,AM=BM,OAMOBM.,AMO=,BMO.,CDAB,O,关于直径,CD,对称,当圆沿着直径,CD,对折时,点,A,与点,B,重合,AC,和,BC,重合,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,AD=BD.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,（,1,）,（,4,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,讨论,（,1,）,（,3,）,（,2,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,4,）,（,2,）,（,3,）,（,5,）,（,1,）过圆心（,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦 （,4,）平分弦所对优弧（,5,）平分弦所对的劣弧,（,3,）,（,5,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,（,2,）,（,5,）,（,2,）,（,4,）,（,1,）,（,3,）,（,5,）,（,2,）,（,5,）,（,1,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,O,A,B,C,D,M,每条推论如何用语言表示？,（,1,）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（,2,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（,3,）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,九条推论,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,(,五个量知二求三）,结论,（,小试牛刀,）一,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对,的两条弧分别三等分,O,A,B,C,D,M,3,半径为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,。,8cm,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,1,半径为,4cm,的,O,中，弦,AB=4cm,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,。,2,O,的直径为,10cm,，圆心,O,到弦,AB,的 距离为,3cm,，则弦,AB,的长是,。,（,再显身手,）二、填空：,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,4,、,O,的半径为,10cm,，弦,ABCD,，,AB=16,，,CD=12,，则,AB,、,CD,间的,距离是,_,.,2cm,或,14cm,如图,ABC,的三个顶点在,O,上，,OEAB,于,E,，,OF AC,于,F,。,求证：,EFBC,，,EF=,巩固提高,O,A,B,C,E,F,证明：,OEAB E,为,AB,的中点,OF AC F,为,AC,的中点,EF,为三角形,ABC,的中位线,EFBC,，,EF=,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,再来！你行吗？,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt,AOE,中,OEAB,2,：已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,。,所以，,AC,BD,E,.,A,C,D,B,O,实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段,.,就可以利用垂径定理来解决有关问题了,.,3,、已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB,。,ABCD,，,MNCD,。,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,你能讲解吗？,夹在两条平行弦间的弧相等,.,你能有一句话概括一下吗？,小结,:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,体会.分享,说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理,:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形中的勾股定理问题。,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,小结：知识盘点,垂径定理与推论的应用,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB=8,，,P,是弦,AB,上一个动点，,求,OP,的取值范围,.,O,A,B,P,练习,3OP5,例,1,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8,厘米，圆心,O,到,AB,的距离为,3,厘米，求,O,的半径,.,解：连结,OA,。过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，则,OE,3,厘米，,AE,BE,。,AB,8,厘米,AE,4,厘米,在,RtAOE,中，根据勾股定理有,OA,5,厘米,O,的半径为,5,厘米。,.,A,E,B,O,讲解,例、图示，在圆中，弦的长为厘米，圆心到的距离为厘米，求圆的半径。,例题图 变式题图 变式题图,变式：若以为圆心，再画一个圆交与、两点，则与之间存在怎样的大小关系？,变式：若以为圆心，在变式题图的基础上再画一个圆，则与，与之间存在怎样的大小关系？,变式：在变式题图的基础上，连结、，将大圆隐去，得到下图，设，试证明。,变式：在变式题图的基础上，将小圆隐去，得到下图，设,C,D,，试证明。,变式题图 变式题图,学生练习,已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,求证：,EC,DF,.,A,O,B,E,C,D,F,如图,A,、,B,、,C,在圆上,且,AB=AC=5,厘米,BC=8,厘米，求圆的半径。,试一试,B,C,A,O,D,2.,已知，,O,的直径,AB,和弦,CD,相交于点,E,，,AE=6,厘米，,EB=2,厘米，,BED=30,，,求,CD,的长。,说明：,解决有关圆的问题，,常常需要添加辅助线，,针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是一个很好的例证。,练习,E,O,A,B,C,D,F,在直径是,20cm,的,O,中，,AOB,的度数是,60,那么弦,AB,的弦心距是,.,D,A,B,O,圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,问题：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4,m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2,m,，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为,27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,解：因为,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,实践应用,7.2,18.7,如图，弓形,ABC,中，弦,AC,的长为,8,厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是,2,厘米，,求圆的半径。,练习,A,B,C,D,O,x,4,2,x,-2,A,B,O,E,D,油的最大深度,ED=OD,OE=200(mm),或者油的最大深度,ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽,AB=600mm,求油的最大深度。,OE=125(mm),(2),B,A,O,E,D,解：,练习,如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面,2,米，半径为,1.3,米，现有一辆高,2.5,米，宽,2.3,米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。,解：如图，用半圆,O,表示通道上面的半圆，,AB,为直径，弦,CD,平行,AB,，过,O,作于,E,，连结,OD,，据垂径定理知：,练习,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、,2 m,，过,O,作,OC,AB,于,D,，交圆弧于,C,，,CD=2,、,4m,，现有一艘宽,3m,，船舱顶部为方形并高出水面（,AB,）,2m,的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,船能过拱桥吗,解,:,如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为,O,半径为,Rm,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,与 相交于点,C.,根,据垂径定理,D,是,AB,的中点,C,是 的中点,CD,就是拱高,.,由题设得,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R=3.9,（,m,）,.,在,RtONH,中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥,.,