线性方程组的解的结构.ppt

,-,*,-,1,-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4,线性方程组,在几何中的应用,4.3,非齐次线性方程组解的结构,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,-,2,-,在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。,-,3,-,4.1,线性方程组解的存在性定理,1,、非齐次方程组解的存在性定理,2,、齐次方程组解的存在性定理,-,4,-,(4-1),(,矩阵形式,),(,向量形式,),(,原始形式,),-,5,-,一、非齐次方程组解的存在性定理,定理,4.1.1,对于,非齐次,方程组,(4-1),向量 可由,A,的列向量组,线性表示。,-,6,-,定理,4.1.2,设,的线性方程组,的系数行列式,Cramer,法则,则方程组有唯一解,且解为,:,(4-2),-,7,-,二、齐次方程组解的存在性定理,(4-3),(,矩阵形式,),(,向量形式,),(,原始形式,),-,8,-,定理,4.1.3,对于,齐次,方程组,(1),A,的列向量组线性无关,(2),A,的列向量组线性相关,推论,1,当方程的个数,m,小于未知量的个数,n,，则,(4-3),一定有非零解,.,齐次方程组解的存在性定理,-,9,-,定理,4.1.4,设,的线性方程组,有非零解,(4-4),-,10,-,例：,(1),如果非齐次线性方程组 有惟一解，,则 只有零解？,(2),如果 只有零解，则,非齐次线性方程组 有惟一解吗？,-,11,-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4,线性方程组,在几何中的应用,4.3,非齐次线性方程组解的结构,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,-,12,-,4.2,齐次线性方程组解的结构,(2),解集的秩是多少,?,(3),解集的最大无关组,(,又称为,基础解系,),如何求,?,齐次方程组,(,假设有无穷多解,),(1),解集的特点,?,称：,-,13,-,性质,1,：若 是,(4-3),的解，,解空间,:,的所有解向量的集合,S,，对加法和数乘,都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次,线性方程组的解空间。,性质,2,：,注：,如果,(4-3),只有零解，解空间是零空间。,如果,(4-3),有非零解，解空间是非零空间。,性质,推论,1,而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题,(1),-,14,-,设,是,的解，满足,线性无关；,的任一解都可以由,线性,是,的一个基础解系。,基础解系,表示,则称,下面我们用一个例子回答第,(2),和第,(3),个问题，,同时也是定理,4.2.1,的例证。,(,取任意实数,),从而,也是,(4-3),的解。,-,15,-,通过下面的例子,针对一般的方程组,例,1,回答所提问题,.,第一步,:,对系数矩阵,A,初等行变换化行最简形,B,从行最简形能得到什么？,-,16,-,第二步,：写出同解的方程组,(,保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边,.,右边的又叫自由变量,),自由变量的个数,=?,第三步,:,令自由变量为任意实数,写出通解，再改写成向量形式,-,17,-,是解吗,?,线性无关吗,?,任一解都 可由 表示吗,?,是基础解系吗,?,基础解系所含向量的个数,=?,第四步,:,写出基础解系,-,18,-,设,是,矩阵，如果,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,定理,4.2.1,推论,2,设,是,矩阵，如果,则齐次线性方程组,的任意 个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,-,19,-,设,证明,证,记,则由,说明,都是,的解,因此,移项,重要结论,推论,3,-,20,-,例,2,设,是 的,两个不同的解向量,k,取任意实数,则,Ax,=0,的通解是,-,21,-,且线性无关，则,_,是,AX=O,的基础解系。,(2),(3),练习,1,、,-,22,-,练习,2,、求下列线性方程组的基础解系与通解,.,-,23,-,例,3,证明,设,首先证明,利用这一结论,证,重要结论,第四章,线性方程组的解的结构,4.4,线性方程组,在几何中的应用,4.3,非齐次线性方程组解的结构,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,-,25,-,4.3,非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解,而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,-,26,-,性质,(,1,),设 都是,(1),的解,则,是,(2),的解,.,(,2,),设 是,(1),的解,是,(2),的解,则 仍是,(1),的解,.,设 是,(1),的一个解,(,固定,),则对,(1),的任一解,x,是,(2),的解,从而存在 使得,又形如,(3),的向量,(,任取,),都是,(1),的解,.,由此得,:,(,3,),注：非齐次方程组的解集不是空间。,-,27,-,定理,4.3.1,设 是,(1),的任一解,则,(1),的通解为,例,4,解,-,28,-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,即得方程组的一个解,-,29,-,练习,求下列线性方程组的通解,.,-,30,-,设,是非齐次方程组,Ax,=,b,的解,则,是,Ax,=0,的解,是,Ax,=,b,的解,例,5,-,31,-,例,6,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,3,已知 是它的三个解向量,且,求该方程组的通解,.,解,取,则它就是解,从而也是基础解系,.,基础解系所含向量个数,=4 3=1,故非齐次方程组的通解为,自学书,P.144-145,例,2,、,3,、,5,。,-,32,-,小结：,作业：,P,142,1,P,147,4,第四章,线性方程组的解的结构,4.4,线性方程组,在几何中的应用,4.3,非齐次线性方程组解的结构,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,-,34,-,4.4,线性方程组在几何中的应用,-,35,-,例,7,求一个齐次方程组,使它的基础解系为,记之为,AB,=,O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知,的,A,放在右边,转置,只需解,然后再把这些解拼成 的列,(,A,的行,),即可,.,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为,则,取,即可,.,解,