《概率论与数理统计》期末复习题-PPT.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,欢迎大家,题目类型：选择题，填空题，计算题。,提醒注意以下几点：,1,、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题,2,、要求熟知事件关系及其运算，各种概率计算公式等；,3,、常用分布的概率计算以及性质，数学期望与方差；,4,、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算,随机变量的独立性与相关性的关系以及判别；,5,、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算；,6,、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算；,7,、数理统计的基本概念，常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质；,8,、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性；,9,、区间估计与假设检验，只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。,概率论与数理统计,复习,一、填空题,1.,设,A,、,B,、,C,为三事件，则事件“,A,发生,B,与,C,都不发生”可 表示为,_;,事件“,A,、,B,、,C,不都发生”可表示为,_,事件“,A,、,B,、,C,都不发生”可表示为,_,。,2.100,件产品中有,10,件次品，任取,5,件恰有,3,件次品的概率为,_,（只写算式）。,3.,已知随机变量,X,的分布函数为,，则,P(X=1)=_,0.4,，,P(X=2.5)=,0,_,4.,设,则,X,的函数,Y=,N(0,1),。,5.,设二维随机变量（,X,Y),的联合分布律为,则,_,1/3,_,6.,已知,，,则,7.,在假设检验中若原假设,H,0,实际为真时却拒绝,H,0,，,称这类错误为,弃真（第一类,),错误,8.,设随机变量,则,9.,若,X,2,(10),，则,E(X)=10,，,D(X)=20,10.P(,2,(11)s)=0.05,则,13.,已知,A,B,为两事件，,14.,已知,A,，,B,为两事件，,15.,设随机变量,X,N,(0,1),，,Y,U,(0,1),，,Z,B,(5,0.5),且,X,，,Y,，,Z,独立，,则,E(2,X,+3,Y,)(4,Z,-1)=,27/2,16.,若,X,与,Y,相互独立，则必有,X,与,Y,不相关,二、解答题,1.,将两信息分别编码为,A,和,B,传送出去，接收站收到时，,A,被,误收作,B,的概率为,0.02,，而,B,被误收作,A,的概率为,0.01.,信息,A,与,信息,B,传送的频率程度为,2:1,。,(1),若接受站收到一信息，是,A,的概率是多少？,（,2,）若接受站收到的信息是,A,，问原发信息是,A,的概率是多少？,解：设,分别表示发出,A,B.,分别表示收到,A,B,事件独立性的应用举例,1,、,加法公式的简化,：,若事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立,则,2,、,乘法公式的简化,：,若,事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立,则,2.,甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为,0.9,与,0.8,，求在一次射击中,(,每人各射一次,),目标被击中的概率,。,解,设,A,，,B,分别表示甲、乙射中目标的事件，,C,表示目标被击中的事件，则,P,(,A,)=0.9,，,P,(,B,)=0.8,P,(,C,)=,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,AB,),=0.9+0.8-0.9,0.8=0.98,另解,3,.,甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率,分别为,1/5,，,1/3,，,1/4,。,（,1,）求密码能破译的概率；,（,2,）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。,解 设,A,，,B,，,C,分别表示甲、乙、丙译出的事件，,D,表示密码被破译的事件，,E,表示恰有一人译出的事件，则,4.,设,X,是连续型随机变量，已知,X,的密度函数为,试求,(1),常数,A (2)X,的分布函数,F(x,),解：,5.,已知随机变量,X,的密度函数为,求,(1),常数,a (2),分布函数,（,4,）求,E(X),D(X),解：,得,a=1,6.,设一汽车在开往目的地的道路上需经过,3,盏信号灯。每盏信号灯以概率,1/2,允许汽车通过或禁止汽车通过。以,X,表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数,(,各信号灯工作相互独立,),。求,X,的分布律、分布函数以及概率,解,设,p,为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则,P,(,X=k,)=,p,(1-,p,),k,，,k,=0,1,2,；,P,(,X,=3)=(1-,p,),3,，故,X,的分布律为：,X,0,1,2,3,P,1/2,1/4,1/8,1/8,X,的分布函数：,7.,离散型随机变量,X,的分布函数为,求,a,b,及,X,的分布律,E(X),D(X),。,解 因,P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2,，,a+b,=1,于是,a=1/6,b=5/6,X,的分布律为,X,-1,1,2,p,1/6,1/3,1/2,8.,设连续型随机变量,X,的分布函数为,求（,1,）常数,A,，,B,的值；,（,2,）,P,（,-1,X1,）；,（,3,）求,X,的密度函数。,10.,二维随机变量（,X,Y),的联合密度函数为,(1),试确定常数,A,；,(2),求关于,X,和,Y,的边缘密度函数；,(3),判断,X,和,Y,是否相互独立。,解：,(1),所以,X,与,Y,不独立,11.,二维随机变量（,X,Y,）,的联合密度函数为,（,1,）确定常数,A,（,2,）试问,X,与,Y,是否相互独立？,解：,（,1,）,当,0 x1,当,0y1,.,所以,X,与,Y,不独立,(1),求常数,K,；,(2),求联合分布函数,F,(,x,y,),；,(3),求概率,P,(,X,+2,Y,1),。,12.,已知,解,(1),K,=6,O x,y,x+,2,y=,1,(2),(3),13.,设二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度函数,(1),求,X,Y,的边缘概率密度；,(2),问,X,与,Y,是否相互独立？,O,x,y,解,由于,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),，因此,X,与,Y,相互独立。,14.,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,Y,X,0,1,0,q,0,1,0,p,其中,p+q,=1,，求相关系数,XY,，,判断,X,Y,相关性和独立性。,解,由题意可得,X,Y,的边缘分布律为,X,0,1,P,q,p,Y,0,1,P,q,p,均为,01,分布，,E,(,X,),，,D,(,X,)=,pq,，,E,(,Y,)=,p,，,D,(,Y,)=,pq,，,所以,Cov(,X,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y,)=0,0,q,+010+100+11,p,p,p,=p,p,2,=,pq,因此,（,1,）,X,Y,正相关,（,2)X,Y,不独立,解,15.,设,(,X,Y,),服从区域,D,:0,x,1,0,y,x,上的均匀分布,求,X,与,Y,的相关系数。,16.,(,X,Y,),的联合分布律如下：试求,(1)X,Y,的边缘分布律。,解,Y,X,1,2,3,4,p,i,1,1/4,0,0,0,1/4,2,1/8,1/8,0,0,1/4,3,1/12,1/12,1/12,0,1/4,4,1/16,1/16,1/16,1/16,1/4,p,j,25/48,13/48,7/48,3/48,(1)X,和,Y,的边缘分布律分别为,X,1,2,3,4,P,1/4,1/4,1/4,1/4,Y,1,2,3,4,P,25/48,13/48,7/48,3/48,17.,某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩,X,近似地服从正态分布,平均成绩,72,分，,96,分以上的占考生总数的,2.3,，求考生的概率统计成绩在,60,分至,84,分之间的概率。,18.,某车间有,200,台车床，每台车床有,60%,的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为,1,千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以,99.9%,的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？,解：设至少需供给,nE,千瓦电量,X,为同时开动的车床数，则,为总体的一个样本，总体,X,的概率密度函数为,其中,为未知参数。,求：（,1,）,的矩估计量,（,2,）,的极大似然估计量。,解：,(1),解得矩估计量为：,(2),似然函数为,解得极大似然估计为：,20.,为了解灯泡使用时数的均值,及标准差,，测量,10,个灯泡，得,如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求,的,95%,的置信区间,解,:(1),这是一个总体方差未知求,的置信度为,0.95,的置信区间的问题,(2),这是一个求,的置信度为,0.95,的置信区间的问题,21.,某校进行教学改革，一学科学生成绩,X,服从正态分布，,均未知。,现抽测,19,人的成绩如下：,70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47,问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩,70,？,解：检验,选取统计量：,由题意条件得：,故拒绝,H,0,即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩,70,。,拒绝域,假设检验九种类型！,22.,(,X,1,X,2,X,6,),为,X,的一个样本,求常数,C,使得,CY,服从,2,分布。,解 因为,(,X,1,X,2,X,6,),为,X,的一个样本,X,i,N,(0,1),，,i,=1,26,则,所以，取常数,C=1/3,使得,CY,服从,2,分布,23.,设总体,X,服从,N(0,1),，样本,X,1,X,2,X,n,来自总体,X,，试求常数,c,使统计量 服从,t-,分布,.,24.(,X,1,X,2,X,5,),为取自正态总体,XN,(0,2,),的样本，,求统计量,的分布,解,25.,设离散型随机变量,X,有如下分布律，试求随机变量,Y=,(,X,-,3),2,+,1,的分布律,X,1,3,5,7,P,0.5,0.1,0.15,0.25,解,Y,的所有可能取值为,1,，,5,，,17,故，,Y,的分布律为,Y,1,5,17,P,0.1,0.65,0.25,设,(,X,1,X,2,X,n,),是正态总体,N,(,2,),的样本，则,(1),(2),(3),与,S,2,独立,(4),26,.,设,X,1,，,X,2,，,X,25,是取自,N,（,21,，,4),的样本,求（,1,）样本均值的数学期望和方差；,解,：,27,.,设,X,1,，,，,X,10,是取自,N,（,2,，,16),的样本,求,a,。,解：,28.,设,X,1,，,X,2,，,X,8,是取自,N(1,9),的样本,求样本方差,S,2,的期望与方差。,解：,29.,设,X,1,，,X,2,，,X,9,是取自,N(0,9),的样本,求,解：,30.,设总体,X,的,k,阶矩存在，则不论,X,的分布如何，样本,k,阶原点矩,是总体,k,阶矩的无偏估计。,证明,设,X,的,k,阶矩,k,=,E,(,X,k,),，,k,1,(,X,1,X,2,X,n,),是来自正态总体,X,的一个样本，则,所以,A,k,是,k,的无偏估计,.,31.,设,XN,(0,2,),，,证明 是,2,无偏估计,。,（,2,）求,(,X,1,X,2,X,n,),是来自总体,X,的一个样本,是,2,无偏估计。,32.,设,(,X,1,X,2,X,n,),是总体,X,的一个样本，,33.,设,(X,Y),服从,N(1,0,9,16,-0.5),分布，,Z=X/3+Y/2,1),求,Z,的概率密度，,2),求,X,与,Z,的相关系数，,3)X,与,Z,是否相互独立？,解,：（）,X,N(1,9),Y,N(0,16),XY,=-0.5,注：,(X,Y),N(,1,2,1,2,2,2,),，,X,与,Y,相互独立,X,与,Y,不相关。,其中,=,cov(X,Y,),。,（,2,）,cov(X,Z,)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2),=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0,(3)X,与,Z,相互独立,Z,N(1/3,3),34.,设随机变量,X,B(12,0.5),Y,N(0,1),COV(X,Y)=-1,求,V=4X+3Y+1,与,W=-2X+4Y,的方差与协方差。,解：,X,B(12,0.5),Y,N(0,1),E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*,0.5,=3,E(Y)=0,D(Y)=1,D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y),=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y),=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33,D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y),=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44,COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y),=COV(4X,-2X+4Y)+COV(3Y,-2X+4Y)+COV(1,-2X+4Y),=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y),=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y),=-8*3+10*(-1)+12=-22,六个重要分布的数学期望和方差,（,1,）,01,分布,XB,(1,p,),，,P,(,X,=1)=,p,，,P,(,X,=0)=1,-,p,=,q,E,(,X,)=p,，,D(X,）,=p(1-p,）,（,2,）二项分布,XB(n,p,)E(X)=,np,D(X)=,npq,分布律为,P,(,X=k,)=,C,n,k,p,k,q,n,-,k,，,(,p+q,=1),，,k,=0,1,2,n,（,3,）,Poisson,分布,X,P,(,),（,4,）,均匀分布,XU,a,b,密度函数为,（,5 ),正态分布,(6),指数分布,P48,与,P100,两种定义式,E(X)=,D(X,)=,2,