概率统计习题解答_.doc

习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过次}；
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间}。
解 (1) ， .
(2) 记为一分钟内接到的呼叫次数，则
， .
(3) 记为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
， .
2. 袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
解 (1) 是必然事件；
(2) 是不可能事件；
(3) {取得球的号码是2，4}；
(4) {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) {取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；
(6) {取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；
(7) {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间上任取一数，记，，求下列事件的表达式：(1)；(2)；(3)；(4).
解 (1) ;
(2) ;
(3) 因为，所以；
(4) 4. 用事件的运算关系式表示下列事件：
(1) 出现，都不出现（记为）；
(2) 都出现，不出现（记为）；
(3) 所有三个事件都出现（记为）；
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为）；
(5) 三个事件都不出现（记为）；
(6) 不多于一个事件出现（记为）；
(7) 不多于两个事件出现（记为）；
(8) 三个事件中至少有两个出现（记为）。
解 (1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)；(8).
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2) 只有第一次抽到废品；
(3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品；
(2) 只有两次抽到废品。
解 (1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
6. 接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。
解

习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数. 于是

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；
(4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.
(ⅰ)有利于的样本点数，故
(ⅱ) 有利于的样本点数，故
(ⅲ) 有利于的样本点数，故
(ⅳ) 有利于的样本点数，故 .
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数.
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为 .
(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为 .
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格；
(3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则

注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知

5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。
解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数
(ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

(ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)

(ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以 .
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1) 事件：“其中恰有一位精通英语”；
(2) 事件：“其中恰有二位精通英语”；
(3) 事件：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为
(1) ；
(2) ；
(3) 因，且与互斥，因而
.
8．设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。

解 记求概率的事件为，则
为图中阴影部分，而，

最后由几何概型的概率计算公式可得

1

1
1/3

图2.3
.
9．（见前面问答题2. 3）
10．已知，，，求
(1),；(2)；(3)；(4)；(5).
解 (1)，；
(2)；
(3)；
(4), ;
(5)
11．设是两个事件，已知，，，试求及
解 注意到 ，因而 . 于是， ；.

习题三解答
1．已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，试求及.
解

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 .
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记{基金}，{股票}，则
(1)
(2) .
4．给定，，，验证下面四个等式：
，
解

5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 {迟到}，{坐火车}，{坐船}，{坐汽车}，{乘飞机}，则 ，且按题意
，，，.
由全概率公式有：

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记{该球是红球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，，所以

(2)
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率。
解 记 {收到信号}，{发出信号}
(1)

(2) .
9．设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。
解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此

10．设与独立，且，求下列事件的概率：，，.
解

11．已知独立，且，求.
解 因，由独立性有

从而 导致
再由 ，有
所以 。最后得到
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 {命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则 ，因而

13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
2
1
解 记 {通达}，
4
3
{元件通达}，
6
5
则 ， 所以
图3.1

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 .
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 .
16．设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.
解 记{在第次试验中出现}，
依假设
所以， ， 此即 .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 {第道工序为次品}， 则次品率

18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 {译出密码}， {第人译出}， 则

19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解 (1) ；
(2) .
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；
(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1)
(2)
(3)

习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。
2. 试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；。
解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；
（2）

（3）。
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解 X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为
X
-3
1
2
概率

X的分布函数
0
=

1
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。
X的分布律为
X
3
4
5
概率

X的分布函数为
0

1
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解 依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律
，
具体计算后可得
X
0
1
2
3
4
5
概率

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；
（2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解 （1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而

即X服从参数的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

X的分布律为
X
1
2
3
4
概率

（3）X可能取到的值为1，2，3，4，

所求X的分布律为
X
1
2
3
4
概率

由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7. 设随机变量，已知，求与的值。
解 由于，因此。
由此可算得
即 解得；
此时，。
8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即

由此可得X的分布函数
0，
，
，
，
，
1，
9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进件物品，由题意应满足

即

查泊松分布表可求得 。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为

11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解 设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有

所求的分布律为
X
1
2
…

…
概率
0.75

…

…
12. 设随机变量X的密度函数为
，
0， 其他，
试求：（1）常数；（2）X的分布函数。
解 （1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。
（2）分布函数

=
=
13. 设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。
解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以

解得；
（2）；
（3）
=
=
=
=
14. 证明：函数
（为正的常数）
为某个随机变量X的密度函数。
证 由于，且，
因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。
15. 求出与密度函数

对应的分布函数的表达式。
解 当时，
当时，
当时，
综合有

16. 设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。
解 X的密度函数为
；
其他.
方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为
。
17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
;
0， 其他.
求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。
解 (1) =
=
(2) 。
18. 设随机变量X的分布函数为

求X的密度函数，并计算和。
解 由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此

所求概率；
。
19. 设随机变量X的分布函数为，求(1) 常数；(2)；(3) 随机变量X的密度函数。
解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即
计算后得
解得
另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。
（2）

（3）X的密度函数
。
20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
；
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为

21. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解 查正态分布表可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
。
22. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解 当时，，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）
；
（5）
；
（6）
。
23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。
解 所求得概率为

24. 某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
；
（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
。

习题五解答
1. 二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率依次为，求这二维随机变量的分布律。
解 由题意可得的联合分布律为
X\Y
0

1
-1
0

0

0
0
2

0
0
2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及。
解 X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为

或写成
X\Y
1
2
3
1
0

2

3

0
。
3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品；
1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。
分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且

或写成

X\Y
0
1
0

1

（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

或写成

X\Y
0
1
0

1

4. 对于第1题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为
X
-1
0
2
概率

按列相加得Y的边缘分布律为
Y
0

1
概率

5. 对于第3题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 在有放回情况下X的边缘分布律为
X
0
1
概率

Y的边缘分布律为
Y
0
1
概率

在无放回情况下X的边缘分布律为
X
0
1
概率

Y的边缘分布律为
Y
0
1
概率

6. 求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。
解 区域D见图5.2。
易算得D的面积为，所以的密度函数
y

1
-1 0 1 x

的分布函数

当或时，；
图5.2
当时, ；
当时，；
当时，；
当时，
综合有

7. 对于第6题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。
解 X的边缘密度函数为

= =
Y的边缘密度函数为

= =
8. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？
解 在有放回情况下，由于，而，即；容易验证
，由独立性定义知X与Y相互独立。
在无放回情况下，由于，而，易见，所以X与Y不相互独立。
9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？
解 ，而，易见，所以X与Y不相互独立。
10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：
X
-2
-1
0
0.5

Y
-0.5
1
3
概率

概率

写出表示的分布律的表格。
解 由于X与Y相互独立，因此

例如
其余的联合概率可同样算得，具体结果为
X\Y
-0.5
1
3
-2

-1

0

0.5

11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。
解. 由均匀分布的定义知

由指数分布的定义知

因为X与Y独立，易得的联合密度函数

y
0.2 x
图5.3
概率，
其中区域见图5.3，经计算有
。
12. 设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）系数；（2）；（3）证明X与Y相互独立。
解 （1）必须满足，即，经计算得；
（2）；
（3）关于X的边缘密度函数

=
同理可求得Y的边缘密度函数为

易见，因此X与Y相互独立。
13. 已知二维随机变量的联合密度函数为

（1）求常数；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？
解 （1）满足，即解得；
（2）X的边缘密度函数

=
Y的边缘密度函数为

=
（3），而，易见，因此X与Y不相互独立。
14. 设随机变量X与Y的联合分布律为
X\Y
0
1
0

1

2

且，（1） 求常数的值；（2）当取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？
解 （1）必须满足，即，可推出，另外由条件概率定义及已知的条件得

由此解得，结合可得到，
即
（2）当时，可求得，易见

因此，X与Y不独立。
15. 对于第2题中的二维随机变量的分布，求当时X的条件分布律。
解 易知，因此时X的条件分布律为
X|Y=2
1
2
3
概率

16. 对于第6题中的二维随机变量的分布，求当时Y的条件密度函数。
解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得）

由条件密度函数的定义知当时Y的条件密度函数为

=

习题六解答
1. 设X的分布律为
X
-2
-0.5
0
2
4
概率

求出：以下随机变量的分布律。（1）；（2）；（3）。
解 由X的分布律可列出下表
概率

-2
-0.5
0
2
4

0
1.5
2
4
6

3
1.5
1
-1
-3

4
0.25
0
4
16
由此表可定出
（1）的分布律为

0

2
4
6
概率

（2）的分布律为

-3
-1
1

3
概率

（3）的分布律为

0

4
16
概率

其中。
2. 设随机变量X服从参数的泊松分布，记随机变量 试求随机变量Y的分布律。
解 由于X服从参数的泊松分布，因此

而 ；
。
即Y的分布律为
Y
0
1
概率

3. 设X的密度函数为 求以下随机变量的密度函数：（1）；（2）；（3）。
解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果为单调可导函数，则也可利用性质求得。
（1）解法一：设，则Y的分布函数

= =

解法二：，，而，则

=
=
（2）设，则，Y的密度函数

=
（3）设，由于X只取中的值，所以也为单调函数，其反函数，因此Y的密度函数为

=
4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。
解 圆面积，由于X均匀取中的值，所以X的密度函数

且为单调增加函数，其反函数
，
Y的密度函数为

=
　　5. 设随机变量X服从正态分布，试求随机变量的函数的密度函数。
　　解 ，所以，此时不为单调函数不能直接利用性质求出。须先求Y的分布函数。

.

=
6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数的密度函数。
解
的反函数，因此所求的Y的密度函数为

=
7. 设X服从，证明服从,其中为两个常数且。
证明 由于,所以，记，则当时，为单增函数，其反函数,因此Y的密度函数为，
即证明了。
8. 设随机变量X在区间上服从均匀分布，随机变量
试求随机变量函数Y的分布律。
解 ，则
而 ；
；
。
因此所求分布律为

Y
-1
0
1
概率

0

9. 设二维随机变量的分布律
X\Y
１
２
３
１

２

０
０
３

０
求以下随机变量的分布律：（１）；（２）；（３）；（４）。
解
概率

０
０

０

２
３
４
３
４
５
４
５
６

０
-１
-2
1
0
-1
2
1
0

1
2
3
2
4
6
3
6
9
从而得到
（1）

２
３
４
５
概率

（２）

-２
-1
0
1
2
概率

（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为
Ｘ
１
２
３
概率

由此得的分布律为
Ｘ
２
４
６
概率

（４）

1
2
3
6
概率

１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，,
（１） 记随机变量，求的分布律；
（２） 记随机变量，求的分布律。
　　从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，与的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
解（１）由于，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知，即,经计算有

０
１
２
概率

（２）由于

０
１
概率

因此

０
２
概率

易见与的分布并不相同。直观的解释是的与的取值并不相同，这是因为与并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。
　　１１. 设二维随机变量的联合分布律为
X\Y
１
２
３
１

０
０
２

０
３

（１） 求的分布律；
（２） 求的分布律。
解 （１）随机变量可能取到的值为１，２，３中的一个，且
综合有

１
２
３
概率

（２）随机变量可能取到的值为１，２，３中的一个，且
同理可求得综合有

１
２
３
概率

　　１２. 设二维随机变量服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线，所围成的区域，求的分布函数及密度函数。
解 的联合密度函数为
-2 0 2 x
图6.2
y

2
设，则的分布函数

其中区域，
当时，积分区域见图6.2，此时
-2 0 2 x
y

2

当时，积分区域见图6.3，此时
-2 0 2 x
y

2

图6.4
图6.3

其中是区域限在中的那部分。
当时，积分区域见图6.4，此时
-2 0 2 x
y
2

图6.5

其中是区域限在中的那部分。
当时，积分区域见图6.5，此时
。
综合有

的密度函数

13. 设的密度函数为，用函数表达随机变量的密度函数。
解 设,则的分布函数
。
对积分变量作变换，得到

于是 ，交换积分变量的次序得

从而，的密度函数为，
把与的地位对换，同样可得到的密度函数的另一种形式。

习题七解答
1. 设的分布律为，
X
-1
0

1
2
概率

求（1），（2），（3），（4）。
解 由随机变量X的分布律，得
X
-1
0

1
2
-X+1
2
1

0
-1
X2
1
0

1
4
P

所以

另外，也可根据数学期望的性质可得：

2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知，求的值。
解

3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求的数学期望。
解
所以
故
4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
解 设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为吨
Y=
则

要使得平均收益最大，所以

得 （吨）
5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望和方差。
解 X的可能取值为0，1，2，3，有