空间向量立体几何学案.doc

河北阜城中学 高二数学
空间向量与立体几何复习学案
教学目标：复习空间向量解立体几何
教学重点：空间角的求法
教学难点：空间角和距离
教学过程

选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．
例1　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．

利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题．
(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：
①利用线线平行证明线面平行．
②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．
③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，要证明l∥α，只需证明a·n＝0.
(2)证明线面垂直的常用方法有：
①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)⇔a与n共线⇔l⊥α.
②l是交线a，b所在平面α外的直线，a，b不共线，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0⇔l⊥a且l⊥b⇔l⊥α.

　例2 如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：AQ∥平面CEP；
(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.

1．求异面直线所成的角．
设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
2．求二面角的大小．
如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
3．求斜线与平面所成的角．
如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n1，n2〉|.
例3. 四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.
(1)求AM与PD所成的角；
(2)求二面角P-AM-N的余弦值；
(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．

计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．
几种常见的距离的求法：
(1)求A、B两点间的距离一般用|AB|＝＝.
(2)求点到平面的距离．
如图所示，已知点B(x0，y0，z0)，平面α内一点A(x1，y1，z1)，平面α的一个法向量n，直线AB与平面α所成的角为φ，θ＝〈n，〉，则sin φ＝|cos〈n，〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n·＝|n|·||cos θ，∴点B到平面α的距离d＝||·sin φ＝||·|cos θ|＝.
(3)求异面直线间的距离．
如图若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点，令向量n⊥a，n⊥b，，则n∥CD.则由＝＋＋得，·n＝·n＋·n＋·n，∴·n＝·n.
∴|·n|＝||·|n|，∴||＝.
∴两异面直线a、b间的距离为d＝.
(4)求直线到平面的距离．
设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则∥n，
∵·n＝(＋)·n＝·n.
∴|·n|＝||·|n|.
∴直线a到平面α的距离为d＝||＝.
(5)求两平行平面间的距离．
设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d＝.
例4.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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