宿迁市2017届高三二模数学参考答案与评分标准.doc

宿迁市2017届高三第二次调研测试
数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合，，则 ▲ ．
【答案】
2． 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是 ▲ ．
【答案】
3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果是 ▲ ．
纤维长度
频数
[22.5，25.5)
3
[25.5，28.5)
8
[28.5，31.5)
9
[31.5，34.5)
11
[34.5，37.5)
10
[37.5，40.5)
5
[40.5，43.5]
4

（第4题）

i←1
While i < 6
i←i2
S←2i3
End While
Print S

（第3题）

【答案】17
4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分
组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是 ▲ ．
【答案】180
5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍
数的概率是 ▲ ．
【答案】（或0.16）
6． 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横
坐标是 ▲ ．
【答案】2
7． 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个
实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm．
【答案】
8． 函数的定义域是 ▲ ．
【答案】
9． 已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和．若，，则的值是 ▲ ．
【答案】
10．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．
若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是 ▲ ．
【答案】
11．如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若·7，
B
C
D
O
(第11题)

A
则·的值是 ▲ ．

【答案】9
12．在△中，已知，，则的最大值是 ▲ ．
【答案】
13．已知函数其中．若函数有3个不同的零点，
则m的取值范围是 ▲ ．
【答案】
14．已知对任意的，恒成立，则当取得最
小值时，的值是 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
已知，．
求：（1）的值；
（2）的值．
解：（1）法一：因为，所以，
又，
所以． …… 3分
所以

． …… 6分
法二：由得，，
即． ① …… 3分
又. ②
由①②解得或．
因为，所以． …… 6分
（2）因为，，
所以． …… 8分
所以，
． …… 12分
所以

． …… 14分

16．（本小题满分14分）
B
C1
A
C
A1
B1
D
(第16题)

E
如图，在直三棱柱中，，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．
求证：（1）DE∥平面B1BCC1；
（2）平面平面．
证明：（1）在直三棱柱中，
四边形A1ACC1为平行四边形．
又E为A1C与AC1的交点，
所以E为A1C的中点． …… 2分
同理，D为A1B的中点，
所以DE∥BC． …… 4分
又平面B1BCC1，平面B1BCC1，
所以DE∥平面B1BCC1． …… 7分
（2）在直三棱柱中，
平面ABC，
又平面ABC，
所以． …… 9分
又，，平面，
所以平面． …… 12分
因为平面
所以平面平面． …… 14分

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭
圆上位于第一象限内的一点．
（1）若点的坐标为，求a，b的值；
(第17题)
O
A

B
C
x
y
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率．
解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即．①
又因为点在椭圆上，
所以． ② …… 3分
由①②解得．
因为，所以． …… 5分
（2）法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．
设直线OC的方程为，，．
由得，
所以．因为，所以． …… 8分
因为，所以．可设直线的方程为．
由得，
所以或，得． …… 11分
因为，所以，于是，
即，所以．
所以直线AB的斜率为． …… 14分
法二：由（1）可知，椭圆方程为，则．
设，．
由，得，
所以，． …… 8分
因为点B，点C都在椭圆上，
所以
解得，， …… 12分
所以直线AB的斜率． …… 14分

18．（本小题满分16分）
一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏
东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最
大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：°，）

领海
A
B
北
(第18题)
30°
公海
l
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），
依题意，． …… 2分
在△中，由正弦定理得，
．
因为°，所以°．
从而缉私艇应向北偏东方向追击． …… 5分
A
B
C
图甲
在△中，由余弦定理得，
，
解得．
又B到边界线l的距离为．
因为，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分
（2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．
y
公海
领海
A
B
图乙

60
l

x
则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私
船相遇，则，即．
整理得，， …… 12分
所以点的轨迹是以点为圆心，
为半径的圆．
因为圆心到领海边界线：的距离为1.55，大于圆半径，
所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分
答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击；
（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分

19．（本小题满分16分）
已知函数，，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数在x1处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，其中为常数，
求证：；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，所以，故．
所以函数在x1处的切线方程为，
即． …… 2分
（2）由已知等式得．
记，则． …… 4分
假设．
① 若，则，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾． …… 6分
② 若，记，则．
令，解得．
当时，，在上为单调增函数；
当时，，在上为单调减函数．
所以，所以，
所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
综合①②，假设不成立，所以． …… 9分
（3）由得．
记，，
则．
① 当时，因为，，所以，
所以在上为单调增函数，所以，
故原不等式恒成立． …… 12分
② 法一：
当时，由（2）知，，
当时，，为单调减函数，
所以，不合题意．
法二：
当时，一方面．
另一方面，，．
所以，使，又在上为单调减函数，
所以当时，，故在上为单调减函数，
所以，不合题意．
综上，． …… 16分

20．（本小题满分16分）
设数列的前n项和为Sn，且满足：
①；②，其中且．
（1）求p的值；
（2）数列能否是等比数列？请说明理由；
（3）求证：当r 2时，数列是等差数列．
解：（1）n1时，，
因为，所以，
又，所以p1． …… 2分
（2）不是等比数列．理由如下：
假设是等比数列，公比为q，
当n2时，，即，
所以 （i） …… 4分
当n3时，，即，
所以， （ii） …… 6分
由（i）（ii）得q1，与矛盾，所以假设不成立．
故不是等比数列． …… 8分
（3）当r 2时，易知．
由，得
时，， ①
，②
②-①得，， …… 11分
即，
，
即

……
，
所以
令d，则． …… 14分
所以.
又时，也适合上式，
所以．
所以．
所以当r 2时，数列是等差数列． …… 16分

数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
D
A
C 事 项
考生在答各题答题要求
1．本试卷题前认真阅读本注意事项及共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3．作答时必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
B
O
（第21—A题）
如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，．
求证：．
证明：连结OC．
因为，，
所以． …… 3分
因为OCOD，所以．
所以．
所以△∽△． …… 8分
所以，即．
因为，所以． …… 10分

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
设矩阵满足：，求矩阵的逆矩阵．
解：法一：设矩阵，则，
所以，，，． …… 4分
解得，，所以． …… 6分
根据逆矩阵公式得，矩阵． …… 10分
法二：在两边同时左乘逆矩阵得，
． …… 4分
设，则，
所以，，，． …… 6分
解得，，，，从而． …… 10分

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线（l为参数）与曲线（为参数）
相交于，两点，求线段的长．
解：法一：将曲线（为参数）化为普通方程为． …… 3分
将直线（为参数）代入得，
， …… 6分
解得，．
则，
所以线段的长为． …… 10分
法二：将曲线（为参数）化为普通方程为， …… 3分
将直线（为参数）化为普通方程为， …… 6分
由得，或
所以的长为． …… 10分

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设均为正实数，且，求证：．
证明：因为均为正实数，且，
所以，，． …… 8分
所以． …… 10分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观
众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．
解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件，
则事件的对立事件为：“没有1首原创新曲被演唱”．
所以．
答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为． …… 4分
（2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为0，1，2，3．
依题意，，故的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．
则，
，
，
．
从而的概率分布为：

8a
7a
6a
5a

…… 8分
所以的数学期望．…… 10分

23．（本小题满分10分）
设．有序数组经m次变换后得到数组，
其中，（1，2，，n），，．
例如：有序数组经1次变换后得到数组，即；经第
2次变换后得到数组．
（1）若，求的值；
（2）求证：，其中1，2，，n．
（注：当时，，1，2，，n，则．）
解：（1）依题意，
经1次变换为：，
经2次变换为：，
经3次变换为：，
所以． …… 3分
（2）下面用数学归纳法证明对，，其中．
（i）当时，，其中，结论成立；
（ii）假设时，，其中． …… 5分
则时，

，
所以结论对时也成立．
由（i）（ii）知，，，其中． …… 10分

数学学科参考答案及评分建议 第17页（共17页）