培优专题2勾股定理及应用(含解答)-.doc

培优专题2 勾股定理及应用

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．
勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．

例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
分析 由斜边长是2，周长是2+，易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．
解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：

①②
即
②式两边同时平方再减去①式得：
2ab=2，
∴ab=．
∴S=．
因此，这个三角形的面积为．

练习1
1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．

2-1
2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ）
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13
例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．
解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，

2-2
∴四边形AFED′与CFED关于EF对称，
则四边形AFED′≌四边形CFED．
∴∠AFE=∠CFE．
∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°
AB=CD=AD′．
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE．
则AE=AF．
∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．
在Rt△ABF中，∵∠B=90°，
∴AB2+BF2=AF2．
设BF=x，b2+x2=（a-x）2，
∴x=．

2-3
∴S=2S△ABF=2×bx=2×·b·=．
练习2
1．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4

3．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

2-5
例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？
分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．
解：∵n为正整数，
∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）
=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，
（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．
∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．
又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．
∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．
∴这个三角形是直角三角形．

练习3
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．

2-6

3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．
C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．
D．△ABC不是直角三角形．
例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．
求证：△ABC是直角三角形．
分析 欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有△BDE≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．
证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．

2-7
∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．
∴△ADC≌△BDE（SAS）．
∴BE=AC=12．
∴∠A=∠DBE．
∴AC∥BE．
在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．
CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．
∴BC2+BE2=CE2．
∴∠EBC=90°．
又∵AC∥BE，
∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．
∴△ABC是直角三角形．
练习4
1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．
先阅读下列解题过程：
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ①
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ②
∴c2=a2+b2． ③
∴△ABC为直角三角形． ④
问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；
（2）本题的正确结论是________．
2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．

2-9
例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
分析 若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt△ADC的直角边．
∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．
解：作AE⊥BC于E．

2-10
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=BC=×32=16．
在Rt△AEC中，
AE2=AC2-CE2=202-162=144，
∴AE=12．

2-11
设DE=x，
则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，
在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．
∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9．
∴BD=BE-DE=16-9=7．

练习5
1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：AD2=AC2+BD2．

2-12

2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

2-13

3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

2-14

答案:
练习1
1．24（提示：利用勾股定理即可求出）

2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：
（1）以A、B为对称点（如图）
∵S=AB×BC，AB=2，
∴BC=AD=．
根据对称性得DF=AB=1．
由于∠D=90°，据勾股定理得：
AF==
（2）以A、D为对称点（如图）
∴BF=BC=．
由∠B=90°，据勾股定理得：
AF==．
3．D
练习2
1．（提示：利用Rt△ABE的勾股定理即可求出）
2．0.8m 3．B
练习3
1．B
2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=，EC=，在Rt△ADF中，由勾股定理得：
AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2．
同理：在Rt△ECF中，EF2=（）2+（）2=a2，
在Rt△ABE中，BE=a，则AE2=a2+a2=a2．
∵a2+a2=a2，
∴AF2+EF2=AE2．
∴∠AFE=90°．
∴AF⊥EF．
3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）
练习4
1．（1）③、④
（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形．
2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，

∴∠C=90°．
将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）
∴CD=DE， AC=AE=5．
则△ACD≌△AED．
又BE=AB-AE=8．
设CD为x，则x2+82=（12-x）2．
解之得x=．
∴AD2=52+（）2．
∴AD=．
3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图）
∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB．

即∠ACP=∠BCE．
∴△PCA≌△ECB（SAS）．
∴BE=AP=3．
在Rt△PCE中，
PE2=PC2+CE2=8．
又∵BP2=1，BE2=9，
∴BE2=BP2+PE2．
∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°
在Rt△PCE中，PC=CE，
∴∠CPE=∠CEP=45°．
∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．

练习5
1．连结AM．
∵M为CB的中点，
∴CM=MB．
又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2，
∴AC2+BD2=AM2-MD2．
又∵AD2=AM2-DM2，
∴AD2=AC2+BD2．
2．36（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）．

3．5cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，
连结AC（如图），此时线段AC的长度即为最短距离．
∴AC==5（cm）．

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