资源描述
矩形、菱形、正方形
一、选择题
1、（2013年安徽凤阳模拟题二）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．
若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形
OABC面积的，则点B1的坐标是（ ）
A．(3，2) B．(－2，－3)
C．(3，2)或(－3，－2) D．(2，3)或(－2，－3)
答案：C
2、(2013年安徽省模拟八)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，联结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE＝，则能反映与之间函数关系的大致图象是
第1题图
第2题图
3、(2013年湖北荆州模拟5)如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4、（2013年上海奉贤区二模）对角线相等的四边形是（▲）
A．菱形； B．矩形； C．等腰梯形； D．不能确定；
答案：D
5、（2013浙江省宁波模拟题）如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个正方形ＥＦＧＨ，其中Ｅ、Ｆ、Ｇ 分别在AB、BC、DF上 ，若BF=3，则正方形ＥＦＧＨ
的边长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
F
第11题
E
B
D
C
A
G
H
答案：C
6. （2013沈阳一模）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
答案：C
7、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（ ▲ ）
A． B． C． D．3
答案：B
（第1题）
A
B
C
D
E
8、(2013年江苏南京一模)如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC＝2，ED＝，则AB的长为
A．2 B．2
C．＋ D．2＋
答案：C
9、（2013云南勐捧中学二模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm
【答案】C
10、（2013宁波五校联考一模）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连结BE、CF、DG，则BE：CF：DG等于（ ）
A．1：1：1 B．1：：1 C．1：：1 D．1：2：1
答案：B
11．（2013宁波五校联考一模）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB. 线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
12、（2013山东德州特长展示）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100° 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．25°或50° B．20°或50° C．40°或50° D．40°或80°
C
13、（2013山东德州特长展示）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列说法中错误的是( )
A
第2题图
E
B
C
D
F
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
14、（2013山东德州特长展示）如图是一个由正方形ABCD和半圆O组成的封闭图形，点O是圆心．点P从点A出发，沿弧AB、线段BC、线段CD和线段DA匀速运动，到达终点A．运动过程中OP扫过的面积（s）随时间（t）变化的图象大致是（ ）
第3题图
A
B
C
D
O
P
t
O
O
O
O
t
t
t
s
s
s
s
A
B
C
D
A
15、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（ ）cm．
A．8 B．8
C．3π D．4π
D
16、(2013年福州市初中毕业班质量检查) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是
第5题图
A．3∶1 B．8∶1 C．9∶1 D．2∶1
A
17、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为( ).
A.6 B.5 C. D.
D
18、（2013年湖北武汉模拟） .如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分
别落在点 处.若，则的度数为
A． B. C. D.
答案：B
19. （2013年湖北武汉模拟） 如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF.则 ∠OFG的度数是
A.60° B.45° C.30° D.75°
答案：B
20. （2013年湖北宜昌调研）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，线段CN的长是（ ）
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3
答案：D
21. （2013年吉林沈阳模拟）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
答案：C
D
E
A
B
C
M
N
22．（2013年江苏东台第二学期阶段检测）如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为
A．12cm B．12．5cm C． cm D．13．5cm
答案：C
23．(2013年江苏无锡崇安一模）下列图形中不是中心对称图形的是…………………………………………………（ ▲ ）
A．矩形 B．菱形 C．正五边形 D．平行四边形
答案：C
24、
图4
（2013年广西钦州市四模）正方形、正方形和正方形的位置如图4所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：
（Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）16
答案：D
25．（2013年杭州拱墅区一模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；
③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
答案：D
26. （2013上海黄浦二摸）我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是
（A）有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形
（B）有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形
（C）有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形
（D）有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形
答案：D
27．（2013年上海静安区二摸）如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为菱形的是
（A）∠OAB＝∠OBA （B）∠OAB＝∠OBC
（C）∠OAB＝∠OCD （D）∠OAB＝∠OAD
答案：D
28．（2013年上海徐汇区二摸）下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是
Ａ．四边相等； Ｂ．对角线相等；
Ｃ．对角线平分一组对角； Ｄ．对角线互相平分且垂直．
答案：B
二、填空题
1．（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．
第1题
答案：5
2、(2013年安徽省模拟八)点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积S△GEF =____ __ cm2.
A
B
D
C
E
F
G
第1题图
答案：4
3、（2013届宝鸡市金台区第一次检测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ADC =120°，则∠AOE=
答案：20
9、(2013北仑区一模)18. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为 ▲ ．
【答案】
（第1题）
10、（2013重庆一中一模）16．如图，矩形中, ，以的长为半径的
交边于点，则图中阴影部分的面积为__________．
（结果保留根号和π）．
第16题图
【答案】
11．（2013江西饶鹰中考模拟）在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为 .
答案：5
x
y
O
A
B
O
3
x
2
y
第1题图
12、（2013山东德州特长展示）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点， AD: AB= :2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB2．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）①②③
13、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点，若四边形BEDF的面积为1，则的值为 ．
14、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为 或 . 3.6或1
15、 （2013年江苏东台第二学期阶段检测）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
答案：2
17．（2013年上海静安区二摸）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是 ▲ ．
答案：
18．（2013年上海闵行区二摸）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于 ▲ ．
A
B
C
D
E
F
（第17题图）
答案：4
19．（2013年上海浦东新区二摸）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且∠ADE=∠CDF，那么EF的长度等于 ▲ ．（结果保留）
答案：
第16题图
20．（2013年上海浦东新区二摸）边长为1的正方形内有一个正三角形，如果这个正三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的边上，那么这个正三角形的边长是 ▲ ．
答案：
三、解答题
1、（2013年湖北荆州模拟题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接.请你判定四边形是什么特殊四边形，并说明理由.
解：四边形是菱形.理由如下：
四边形是矩形 ∴AD∥BC
是的垂直平分线
四边形是平行四边形 是的垂直平分线
平行四边形是菱形
2、（2013年安徽模拟二）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F都在AG上，连接BE、DF，有∠1=∠2，∠3=∠4．
第2题图
（1）证明：；
（2）若，求EF的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（ASA）．
（2）∵∠1=∠2，∠1+∠4=，
∴∠2+∠4=，即．
∵∠G+∠4=， ∴∠2=∠G=．
∴AE=1，BE=．
由（1）可知AF=BE=，∴EF=AF－AE=－1．
3. （2013年北京房山区一模）已知，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行操作：
如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
（1）通过操作，最后拼成的四边形为
（2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm,最大值为___________________________cm．
答案：（1）平行四边形；-----------------------------1分
（2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，
当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；----------------------------3分
当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，
其值为2（6+）=12+. -----------5分
4、(2013年安徽省模拟六)如图，正方形ABCD中，AB＝24，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长度；
（3）求△FGC 的面积．
答案：解: （1）∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； （3分）
②∵EF=DE=CD=8，设BG=FG=x，则CG=24－x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
（24－x）2+162=（x+8）2，解之，解得：x=12． （7分）
(3)∵S△GCE=GC•CE=×12×16=96.
∵GF=12，EF=8，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE=3：2，
第1题图
∴S△GFC=×96=． （12分）
5、(2013年安徽省模拟八) (本题满分10分)已知：平行四边形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中点，DE、DF分别交AB 、CB的延长线于H、G；
（1）求证：BH =AB；
（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．
第2题图
答案： （1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H
又∵E是CB的中点，∴CE=BE
∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC
∴BH=AB
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C
∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE
∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF ∴∠H=∠G
6、(2013年安徽省模拟八)如图，在矩形ABCD中，AB = 6米，BC = 8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABQP面积为S米2．
A
D
B
C
P
Q
第3题图
⑴ 求面积S关于时间 t 的函数关系式；
⑵ 在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
答案：⑴ 过点P作PE⊥BC于E，
Rt△ABC中，AC ＝10（米）
由题意知：AP＝2t，CQ＝t，则PC＝10－2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴ ＝ 即： ＝
∴ PE＝（10－2t）＝－ t＋6
又∵S ＝ ×6×8＝24
∴S＝S －S△CPQ＝24－ · t ·（－ t＋6）＝ t2－3t＋24
S＝ t2－3t＋24
⑵ 假设四边 形ABQP与△CPQ的面积相等，则有： t2－3t＋24＝12，
即： t2－5t＋20＝0
∵b2－4ac＝（－5）2－4×1×20＜0
∴方程无实根
∴ 在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等。
7、（2013届宝鸡市金台区第一次检测）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、 PB、 PC、 PD, 得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4、给出如下结论：①S1＋S4 =S2＋S3 ; ②S2＋S4 =S1＋S3 ; ③若S3=2S1，则S4=2S2 ; ④若点P在矩形的对角线BD（不含B、D两点）上，则S1=S2，其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
答案：②④
8、（2013年上海奉贤区二模）如图，已知是等边三角形，点是延长线上的一个动点，
以为边作等边，过点作的平行线，分别交的延长线于点，联结．
（1）求证：；
（2）如果BC =CD， 判断四边形的形状，并说明理由．
A
D
C
B
F
E
G
答案：（1）∵等边和等边
∴， ∠CAB=∠EAD=60°-------------------------(1分)
∵∠BAE+∠EAC = 60°，∠DAC+∠EAC = 60°
∴∠BAE=∠CAD--------------------------------------------------------------（2分）
∴ --------------------------------------------------------(3分)
(2) ∵ ∴∠ABE=∠ACD, BE=CD---------------------(1分)
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴ ∠ABE=∠ACD=∠BCG= 120° ∴∠DBE= 60°
∴∠BCG+∠DBE= 180°， ∴BE//CG------------------------------(2分)
∵BC//EG ∴四边形是平行四边形-------------------------------(1分)
∵BC=CD ， ∴BE=BC---------------------------------------------------(1分)
∴四边形平行四边形是菱形。-------------------------- ---------(1分)
9、（2013年上海长宁区二模)如图，△ABC中，∠ACB=，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE.
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数.
答案：（1）证：∵∠ACB=， 又∵E是BA的中点
∴CE=AE=BE
∵AF=AE ∴AF=CE (2分)
在△BEC中 ∵BE=CE 且D是BC的中点
∴ED是等腰△BEC底边上的中线
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线
∴∠1=∠2
∴∠AEC = －∠1－∠2 =－2∠1 (2分)
∵AF=AE ∴∠F =∠3
∵∠1=∠3 ∴∠1=∠F =∠3
∴在△AEF中 ∠FAE = －∠3－∠F =－2∠1 (2分)
∴ ∠AEC =∠F AE
∴CE//AF
又∵CE=AF
∴四边形ACEF是平行四边形 (2分)
① 解：∵四边形ACEF是菱形 ∴AC=CE
由（1）知 AE=CE ∴AC=CE=AE
∴△AEC是等边三角形 (2分)
∴∠4 =
在Rt△ABC中 ∠B =－∠4= (2分)
10. （2013沈阳一模）（7分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB
上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.
答案：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE－PF=OF－BF= OB=.
11、(2013年江苏南京一模)（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝1，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．
A
B
C
D
E
F
G
H
（第1题）
答案：（本题8分）
（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG＝CD，HE＝CD，FH＝AB，GE＝AB． 2分
∵AB＝CD，
∴FG＝FH＝HE＝EG． 3分
∴四边形EGFH是菱形． 4分
（其他方法参照给分）
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB． 5分
∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．
∴∠HFC＋∠GFB＝∠ABC＋∠DCB＝90°．
∴∠GFH＝90°． 6分
∴菱形EGFH是正方形． 7分
∵AB＝1，∴EG＝AB＝．
∴正方形EGFH的面积＝()2＝． 8分
12、 (2013年江苏南京一模)（8分）如图，正方形的边长为12，其内部有一个小正方形，其中、、分别在、上．若，求小正方形的边长．
答案：（本题8分）
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝12，CE＝3．…………………………………………1分
在Rt△ABE中，AB＝12，BE＝9，
∴ AE＝＝15．…………………………………………………………………2分
∵ ∠AEB＋∠CEF＝∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴ ∠BAE＝∠CEF，且∠B＝∠C＝90°，
∴ △ABE～△ECF． …………………………………………………………………6分
∴ ＝．即 ＝ ， EF＝．
即小正方形EFGH的边长．…………………………………………………………8分
13、(2013年江苏南京一模)（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(，得线段PQ.
（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系；
D
B
A
O
C
第3题备用图
D
B
A
O
C
第3题图
D
B
A
O
C
第3题备用图
②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围.（在备用图中探究）
答案：（1）作AD的垂直平分线，交BC于点P。…………………………（3分）
（2）①如图，连接PC.
由PC=PQ，得∠3=∠4。由菱形ABCD，得∠3=∠PAD。
所以得∠4=∠PAD，…………………………（4分）
而∠4+∠PQD=180°.
所以∠PAD+∠PQD=180°.
所以m+2n=180. …………………………… （6分）
②解法一：∵PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°. …（7分）
而点P在线段BO上运动，
∴ ∠BCD≥∠3≥∠ACD，
∴ 180-2n≥2n≥90-n，……………………… （9分）
∴ 30≤n≤45．……………………………… (10分)
解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，
又∠1=∠2，∴∠QPD=∠2，…………………………（7分）
∵点P在线段OB上运动，
∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）
即 （或2n≤180-2n≤90+n）……（9分）
∴30≤n≤45．…………………………………………（10分）
14、(2013年江苏南京一模)（8分) 如图（1），四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，A、B、E在一条直线上．
已知，AD=EF=6，AB=BE=2，∠E=．如图（2）四边形ABCD可以沿着直线l左右
平移，移动后连接A、E、F、D形成四边形AEFD．
（1）在平移过程中，四边形AEFD是否可以形成矩形？如果可以，直接写出矩形的面
积；如果不可以，请说明理由；
（2）试探究如何平移，四边形AEFD为菱形（借助备用图，写出具体过程和结论）？
图（1）
图（2）
备用图（1）
备用图（2）
答案：（本题8分）
（1）12cm2； ……………………2分
（2）①如图，若四边形ABCD沿直线l向右平移形成菱形，过点A做AP⊥直线l，
∵∠AB′P＝60，∴∠B′AP＝30．∵AB＝2，∴B′P＝A B′＝1．
在Rt△AB′P中，根据勾股定理，得 AP2＝ AB′2－B′P2， ∴AP＝．
∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．
根据题意有A B′∥EB，∴∠EBQ＝∠A B′Q．
在△A B′Q和△EBQ中，
∠A B′Q ＝∠EBQ，
∠AQ B′＝∠EQB，
AB′＝EB,
∴△A B′Q≌△EBQ．
∴AQ＝QE＝3，BQ＝ B′Q＝BB′．
在Rt△AQP中，根据勾股定理，得 QP2＝ AQ2－ AP2 . ∴QP＝．
∵B′Q＝ QP－B′P＝－1，
∴BB′＝2－2，即四边形ABCD沿直线l向右平移（2－2）cm可以得到菱形AEFD．
……………………5分
②如图，当四边形ABCD沿直线l向左平移形成菱形时，过点A做AP⊥直线l，
由①知 AP＝．
∵四边形AEFD为菱形，∴AE＝AD＝6．
根据题意有A B′∥EB，∴∠EBQ＝∠A B′Q .
在△A B′Q和△EBQ中，
∠A B′Q ＝∠EBQ，
∠AQ B′＝∠EQB，
AB′＝EB，
∴△A B′Q≌△EBQ．
∴AQ＝QE＝3，BQ＝ B′Q＝BB′．
在Rt△AQP中，根据勾股定理，得 QP2＝ AQ2－ AP2
∴QP＝．
∵B′Q＝ QP＋B′P＝＋1，
∴BB′＝2＋2，即四边形ABCD沿直线l向左平移（2＋2）cm可以得到菱形AEFD．
A
B
CA
D
E
F
（第5题）
15、(2013年江苏南京一模)（8分）如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
A
B
CA
D
E
F
（第5题）
答案：（本题8分）
证明：（1）在□ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
∵∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF． ………………………………………………4分
（2）∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°．
∵AB＝DB，AB＝CD，∴DB＝CD．
∵DF平分∠CDB，∴DF⊥BC，即∠BFD＝90°．
在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EDF＋∠DEB＝180°．
∴∠EDF＝90°．
∴四边形DFBE是矩形． …………………………………………8分
16、（黑龙江2013）(本题10分)如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG;
（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.
（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点
∵∠CFB=45°
∴CH=HF（1分）
∵∠ABG+∠BAG=90°， ∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE
∵AG⊥BF CH⊥BF（1分）
∴∠AGB=∠BHC=90°
在△AGB和△BHC中
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC， AB=BC（1分）
∴△AGB≌△BHC（1分）
∴AG=BH， BG=CH
∵BH=BG+GH
∴BH=HF+GH=FG
∴AG=FG（1分）
(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点
∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10
∴BG=， GM=（1分）∴AG= AB=10
∴HF= ∴CF=×∴CM=（1分）
过B点作BK⊥CM于K
∵CK==， ∴BK=（1分）
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=（1分）
DQ=CK=∴QF=－=∴DF==（1分）
17、（2013云南勐捧中学三模）(本小题7分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．
求证：△ACE≌△ACF．
第22题图
【答案】解：证明：∵AC是菱形ABCD的对角
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