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概率与统计
提高练习
1.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B
（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）
（C）　　　　　　　　　　　　　　　（D）
2.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为C
A． B． C． D．
3.某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B
A. B. C. D.
4.记等差数列的前项和为，若，，则（ D ）
A．16 B．24 C．36 D．48
5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）
A． B． C． D．
6.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）
数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
第8题图

据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],
已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或
等于98克并且小于104克的产品的个数是
A.90 B.75 C. 60 D.45
解: :产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
120×0.75=90.故选A.
7.在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为
A. B. C. D.
解:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
8.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为
A. B. C. D.
解:在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
9.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
（A） （B） （C） （D）

A

B
C
D
E
F
解:如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
共12对，所以所求
概率为，选D
10.考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成
三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A.1 B. C. D. 0 .
解:依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。.
11.甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
A． B． C． D．
解:所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.
12.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为
A． B． C． D． .
解: 故选D
13.设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近
C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解:甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613,答案A
14.对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
（B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
（D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
解:由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，
u 与v 正相关,选C
15. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为
（A） （B） （C） （D）
解:长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为,因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝,取到的点到O的距离大于1的概率为.答案B
16.设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近
C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解:甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613.用以上各数据与0.618（或0.6）的差进行计算，可减少计算量.
17.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工
人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，
则该样本中的老年职工人数为
（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36
解:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.
18.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别

频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在上的频率为
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
解:由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.
19.若事件与相互独立，且，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
解:＝＝
20.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
解:根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.

一． 填空题：
1.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．10
2.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）
3.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 10.5和10.5;
4.一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．
5.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
6.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 . ,6
7.某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ________。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 _____人.
解:由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.答案37, 20.
8.已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ，
___．
解:由题知，，，解得，.
9.某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ．
解:对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此
频数为30. .
10.若随机变量，则=____________.
解:
11.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____________。
解:依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75. .
12.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ____.
解:从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
13.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为= ____ .
解:甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差
14.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，
用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，
由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，
则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.
解:＝1013.
15.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。
解:三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76.
16.下图是样本容量为200的频率分布直方图。
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为 ____，数据落在（2，10）内的概率约为 。
解:观察直方图易得频数为,频率为
17. 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 _______ .
解: 设总体中的个体数为，则
18.一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位___________。
解:由条件易知层中抽取的样本数是2，设层总体数是，则又由层中甲、乙都被抽到的概率是=，可得，所以总体中的个数是
19.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____________名学生。
解:C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。
20.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB
的长度小于1的概率为 。
解:如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，
则其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m
21.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
解:因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1－。
22. 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．
解:可按两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种。
23．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答）．
解:因为样本平均数，则样本方差
所以
24.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 ____ ，数据落在内的概率约为 .
解:由于在范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64; 同样在范围内的频数为16，所以在范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4

二． 解答题：
1. 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
解：（Ⅰ）对于甲：
次数
1
2
3
4
5
概率
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
对于乙：
次数
2
3
4
概率
0.4
0.4
0.2
．
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．
2.购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
解：
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，
则．
（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分

，
又，
故． 5分
（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望为 ， 9分
由知，，

．

（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分
3.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，
则．
所以，的分布列是

1
3

4. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。
【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ），故的分布列

所以
5.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得，于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
解法二：
由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
，
，

所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．
6.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。
（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
解：(1)由得,
从而
的分布列为

0
1
2
3
4
5
6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
7.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为
ε
0
1
2
3
P

ε的数学期望为
　　　　　Eε=
解法二：根据题设可知
因此ε的分布列为

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

由互斥事件的概率公式得

解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事
P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
=
8.某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）．写出的分布列；
（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？
解：（1）的所有取值为
的所有取值为,
、的分布列分别为：

0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15

0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08

（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
,

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
（3）令表示方案所带来的效益，则

10
15
20
P
0.35
0.35
0.3

10
15
20
P
0.5
0.18
0.32

所以
可见，方案一所带来的平均效益更大。
9 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝
＝

=
=

所以， 的分布列是

0
1
2
3

P

的期望
10. 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为

（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且

故有分布列

2
3
4
5
6
P

从而（局）.
11.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，
得到．
故白球有5个．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是

0
1
2
3

的数学期望
．
（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
16×0.09=12.4（千元） 12分
12．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和
出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯
的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，
出现绿灯的概率是．问：
（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？
（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是×，
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为×．
∴第二次出现红灯的概率为×+×=． 6分
（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①出现绿、绿、红的概率为××；
②出现绿、红、绿的概率为××；
③出现红、绿、绿的概率为××； 10分
所求概率为××+××+××=． 12分
13．袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重－5n+15
克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．
（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率
解：（1）由不等式－5n+15>n，得n>15，或n<3．
由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35．于是所求概率为． 6分
（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n<m，则有－5n+15=－5m+15，
∴（n－m）（n+m－15）=0，
∵n≠m，∴n+m=15， 10分
∴（n，m）=（1，14），（2，13），…，（7，8）．
故所求概率为． 12分
14．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，
若是同色的概率为 ，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？

(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？
解：（1）令红色球为x个，则依题意得, （3分）
所以得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．　　　　　　　　　　　　　 （ 6分）
（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，
则P（B）=1－－P（A）＝　＝ （12分）
15．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校共有5个交通岗，假设他在每个交通岗遇
到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为，其余3个交通岗遇红灯
的概率均为．
（Ⅰ）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求的取值范围．
解: （Ⅰ） 记该学生在第个交通岗遇红灯为事件（），它们相互独立，则
“这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯”为．
．
答: 该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为. 6分
注：本小问缺少事件命名、概型分析、答，各扣一分．
（Ⅱ）过首末两个路口，过中间三个路口分别看作独立重复试验．该学生至多遇到一次红灯指没有遇红灯（记为）或恰好遇一次红灯（记为），则与互斥．
， 7分
． 9分
该学生至多遇到一次红灯，为，
，
故，即，解得． 11分
又，所以的取值范围为. 12分
注：的取值范围写成不扣分．
16．高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛
规则是：① 按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ② 代表队中每名队员至少
参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛； ③ 先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：解：（Ⅰ）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法. （2分）
所以，高三（1）班出场画容共有 （4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.所以，连胜两盘的概率为 （8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少胜盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为 （9分）
（2）胜两盘，此时的概率为 （11分）
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为 （12分）
或：高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘 （10分）
所以，所求概率为 （12分）
17．为了支持三峡工程建设，某市某镇决定接受一批三峡移民，其中有3户 互为亲戚关
系,将这3户移民随意安置到5个村民组
① 求这3户恰好安置到同一村民组的概率
② 求这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率
解：①3户任意分配到5个村民组，共有53种不同分法，3户都在同一村民组共有5种方法，3户都在同一村民组的概率为，∴3户都在同一村民组的概率为0.04
②恰有2户分到同一村民组的结果有∴∴恰有2户分到同一
村民组的概率为0.48
18．某制药厂设甲、乙两个研究小组,独立研制治疗禽流感的新药物.
(1)设甲小组研制出新药物的概率为0.75，乙小组研制出新药物的概率为0.80，求甲、
乙两组均研制出新药物的概率；
(2)设甲、乙两组研制出新药物的概率相同。若该制药厂研制出新药物的概率为0.64，
求甲小组研制出新药物的概率.
解：(1）0.80×0.75=0.60……………………………………………5分
（2）设甲研制出的概率为P，1-（1-P）2=0.64………………10分
解得P=0.40……………………11分
答(1)甲、乙两组均研制出新药的概率为060；
(2)甲研制出的概率为0.40.……………12分
19．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求甲取到白球的概率.
解：(I)设袋中原有个白球,由题意知

所以n(n-1)=6，解得(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,
则 P(A)=P(“=1”，或“=3”，或“=5”).
因为事件“=1”、“=3”、“=5”两两互斥，所以

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