学案19导数的综合应用.doc

镇江市丹徒高级中学◆2015高三数学一轮复习理科◆导学案 班级：高三 班 学号 姓名_____________
总课题
高三一轮复习---导数
总课时

课 题
导数的综合应用
课型
复习课
教 学
目 标
1、应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.
2、能利用导数研究与函数的零点、方程和不等式有关的问题．
3、会利用导数解决某些实际问题．
教 学
重 点
应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.
教 学
难 点
会利用导数解决某些实际问题．
学 法
指 导
自主复习《选修2-2》第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。
教 学
准 备
导学案导学 《步步高》一轮复习资料 自主学习
高 考
要 求
导数的综合应用 B
教 学 过 程
师 生 互 动
个案补充
第1课时：
一、基础知识梳理
1.已知函数的区间上为单调增函数，求参数值范围时，实质为 问题．
2.求函数单调增区间，实质为 问题，但注意解集一定为定义域的子集．
3. 不等式问题
(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答.

二、基础练习训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值. (　　)
(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值. (　　)
(3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1. (　　)
(4)函数f(x)＝x2ln x没有最值. (　　)
(5)已知x∈(0，)，则sin x>x. (　　)
(6)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根. (　　)
2. 函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是________．
3.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________.
5. 函数f(x)＝ex (sin x＋cos x)在区间上的值域为______________．

6. 从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm3.
三、典型例题分析
题型一: 利用导数研究函数的性质
例1：设a>0，函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．

随堂训练：
已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方.

第2课时：
题型二: 利用导数求参数的取值范围
例2：已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围.

随堂训练：
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

第3课时：
题型三　实际生活中的优化问题
例3：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

B
C
D
A
O
P

随堂训练：(2008江苏17)．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设（rad），将表示成的函数；
（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

五、课堂总结：

六、教（学）反思：

七、课后作业
1、《步练》P235 A组；
2、一轮复习作业纸19。

课后作业
一轮复习作业纸19：导数的综合应用
1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为________.
2. 已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________.
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
4. 若函数f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________.
5. 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
6. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.
7. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_______________m3.
*8. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是________.(填序号)
①f(x)<0恒成立；②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④f()>；⑤f()<.
9. 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

10. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x (cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

总课题
高三一轮复习---导数
总课时

课 题
导数的综合应用
课型
复习课
教 学
目 标
1、应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.
2、能利用导数研究与函数的零点、方程和不等式有关的问题．
3、会利用导数解决某些实际问题．
教 学
重 点
应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.
教 学
难 点
会利用导数解决某些实际问题．
学 法
指 导
自主复习《选修2-2》第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。
教 学
准 备
导学案导学 《步步高》一轮复习资料 自主学习
高 考
要 求
导数的综合应用 B
教 学 过 程
师 生 互 动
个案补充
第1课时：
一、基础知识梳理
1.已知函数的区间上为单调增函数，求参数值范围时，实质为 问题．
2.求函数单调增区间，实质为 问题，但注意解集一定为定义域的子集．
3. 不等式问题
(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答.
二、基础练习训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值. (　√　)
(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值. (　√　)
(3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1. (　×　)
(4)函数f(x)＝x2ln x没有最值. (　×　)
(5)已知x∈(0，)，则sin x>x. (　×　)
(6)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根. (　×　)
2. 函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是________．答案t≥5
3.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．答案0<a<1
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________.答案　
5. 函数f(x)＝ex (sin x＋cos x)在区间上的值域为______________．答案

6. 从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm3. 答案　144
三、典型例题分析
题型一: 利用导数研究函数的性质
例1：设a>0，函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a·(a>0)，
由f′(x)＝a·>0，得0<x<e；
由f′(x)<0，得x>e.
故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．
∵f(a)－f(2a)＝ln，
∴当0<a≤2时，[f(x)]min＝ln a；
当a>2时，[f(x)]min＝.

随堂训练：
已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方.
(1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝， [1分]
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， [2分]
当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减， [3分]
当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增， [4分]
所以f(x)在x＝1处取得极小值为. [5分]
(2)解　当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数， [7分]
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1. [9分]
(3)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝， [11分]
当x>1时，F′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立.
即f(x)<g(x)恒成立. [13分]
因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方. [14分]

第2课时：

题型二: 利用导数求参数的取值范围
例2：已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围.
思维启迪　(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况.
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e1－a，
当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，
单调递减区间为[e1－a，＋∞)，
极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值.
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝，
则F′(x)＝.
令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)>0，得x<e2－a；
令F′(x)<0，得x>e2－a，
故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，
在区间[e2－a，＋∞)上是减函数.
①当e2－a<e2，即a>0时，
函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，
在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.
又F(e1－a)＝0，F(e2)＝>0，
由图象，易知当0<x<e1－a时，F(x)<0；
当e1－a<x≤e2，F(x)>0，
此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有1个公共点.
②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数，
F(x)max＝F(e2)＝.
若F(x)max＝F(e2)＝≥0，即－1≤a≤0时，
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上只有1个公共点；
若F(x)max＝F(e2)＝<0，即a<－1时，
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上没有公共点.
综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞).

随堂训练：
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).
当a>0时，由f′(x)>0，
解得x<－或x>.
由f′(x)<0，解得－<x<，
∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，).
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：
实数m的取值范围是(－3,1).

第3课时：

题型三　实际生活中的优化问题
例3：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解　(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

随堂训练：B
C
D
A
O
P

(2008江苏17)．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设（rad），将表示成的函数；
（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。

五、课堂总结：

六、教（学）反思：

七、课后作业
1、《步练》P235 A组；
2、一轮复习作业纸19。

课后作业
一轮复习作业纸19：导数的综合应用
1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为________.
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
2. 已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________.
答案　m≥－2
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.答案5
4. 若函数f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________.答案　－1
5. 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.答案　－2或2
6. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.
答案　－13
7. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_______________m3. 答案300

*8. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是________.(填序号)
①f(x)<0恒成立；
②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④f()>；
⑤f()<.
答案　②⑤

9. 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
↘
2(1－ln 2＋a)
单调递增
↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a).
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，
g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.

10. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x (cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0<x<30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x).
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.

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