广东省惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(文科)(2011年4月).doc

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惠州市2011届高三第一次模拟考试
数学试题(文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：
锥体的体积公式： （是锥体的底面积，是锥体的高）
圆台侧面积公式： （是圆台的上、下底面半径，是圆台母线长）
标准差公式： （是平均数）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．设为实数，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．8 D．2
4．若向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5．一组数据的标准差为，则数据的标准差为（ ）
A． B． C． D．
6．如果执行右面的程序框图，输入，
那么输出的等于（ ）
A．720 B. 360 C. 240 D. 120
7．已知的图像与的图像
的两相邻交点间的距离为，要得到 的图像，
只须把的图像（ ）
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
8．已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（第9题图）
9．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个
无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的
小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成
（如图），当容器的容积最大时，该容器的高
为（ ）
A. B. C. D.
10．在上定义运算:若使得成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），
则 。
（第12题图）
12.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图
都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，
则该几何体的侧面积是 。
13.已知等差数列中，，，若，
则数列的前9项和等于 。
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）
(第15题图)
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线与圆相交
于两点，若，则直线的极坐标方程为 。
15.(几何证明选讲选做题) 为的直径,切于点,
且,过的割线交的延长线于,
.则的长等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分分)
已知函数
（1）当取什么值时，函数取得最大值，并求其最大值；
（2）若，且，求的值。
17.(本小题满分分)
惠州市某校高三年级有男生人，女生人，教师人，用分层抽样的方法从中抽取人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

同意
不同意
合计
男生

女生

教师

（1）请完成此统计表；
（2）试估计高三年级学生“同意”的人数；
（3）从被调查的女生中选取人进行访谈，求选到的两名女生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

18.（本小题满分14分）
在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求三棱锥的体积．

19.（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相交于两点，为原点，且，试探究点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

20.(本小题满分14分)
已知函数，直线的方程为.
(1)求过函数图像上的任一点的切线方程；
(2)若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；
(3)若对任意成立，求实数、应满足的条件.

21.(本小题满分14分)
已知数列的首项，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对任意的，，；
（3）证明：．

惠州市2011届高三第一次模拟考试
数学试题(文科）答案与评分标准
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
B
D
D
C
A
1．【解析】，，则=，故选
2．【解析】，因此.故选.
3．【解析】直线可化为，两平行线之间的距离是。故选
4．【解析】由可得。反之，由得，所以；故选
5.【解析】由标准差公式得. 故选D
6．【解析】 故选
7．【解析】依题意，的最小正周期为，故，
因为，
所以把的图像向左平移个单位即可得到的图像。∴故选D
另解：把的图像向左平移个单位，可得到的图像，再把的图像向左平移个单位，即可得到的图像，共向左平移个单位。
8．【解析】两点位于直线的两侧，
故选D.
9．【解析】设容器的高为，容器的容积为，
则，
( 第9题图 )
∵，
，
解得，（舍去）．
∵当时，，当时，，∴当时，在区间内有唯一极值，且取极大值．∴容器高时，容器容积最大。故选
10．【解析】使得,即使得
成立,，
解得：,故选
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. 。
11．【解析】因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以
（第12题图）
当时, ,即.
12．【解析】由三视图可知，该几何体的直观图是圆台，
其圆台的侧面积是：。

13．【解析】由,
(第15题图)
数列的前9项和为
14．【解析】设直线与极轴垂直且相交于点，极点为，
则的极坐标方程为
15.【解析】设,由
得.由勾股定理解得:.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分12分）
解：（1） ……………………2分
当，即时，……………4分
有最大值为…………………………………………………………6分
（2）法一： ………7分
∵∴
……………………………9分

…………………………………12分
法二： …………………… 7分
由 …………………………………………………9分
得或……………………………………………11分
∵ ∴……………………………………………12分
17．（本题满分12分）

同意
不同意
合计
男生

女生

教师

解：（1）

………3分

男生抽：人，女生抽：人，教师抽：人。
（2）高三年级学生“同意”的人数约为人
（或人）………………………………………………………………6分
（3）记被调查的6名女生中“同意”的2人为，“不同意”的4人为。
则从被调查的6名女生中选取2人进行访谈共
有15种结果。…………………………………………………9分
记={选到的两名女生中恰有一人“同意”一人“不同意”}
则包含共8种结果。
∴ …………………………………………………………………………12分
18. （本题满分14分）
解：（1）分别为的中点， ………………………2分
又平面，平面
平面 …………………………………4分
（2）连结 ， ,
又为的中点，，
同理, …………6分
又,,
……………8分
又 ,
平面. 平面
平面⊥平面 …………10分
(3) 由（2）可知垂直平面
为三棱锥的高，且。 ………………………11分
三棱锥的体积为：
…………………14分
19．（本题满分14分）
解：（1）设椭圆方程为，焦距为。
因为在椭圆上，
则 于是，解得 ………………………2分
因为 ………………………3分
故椭圆的方程为…………………………………………………4分
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由 ………………………6分
所以 ………………………………………8分
于是
=
因为所以…10分
即 …………………………………11分
设原点到直线的距离为，则…12分
当直线的斜率不存在时，因为根据椭圆的对称性，不妨设直线
的方程分别为
此时，原点到直线的距离仍为
综上，点到直线的距离为定值. ………………………………………14分
20．（本题满分14分）
解：(1)∵，记切点为，∴切线的方程为
即 …………………………………………3分
(2)由(1)
记函数,∴
∴
∴在上单调递减，在为单调递增 ……………………6分
故
故即对任意成立 ………………8分
(3)设，
∴， …………………10分
①当时，，则在上单调递增
∴，
∴，即 符合题意。 …………………………………………………12分
②当时，在上单调递减，上单调递增
∴∴
…………………………………………………………………13分
综上所述：满足题意的条件是或 ………………14分
21. （本题满分14分）
解：（1），，，…………2分
又是首项为，公比为的等比数列．
，． ……………………………5分
（2）由（1）知，

………………8分
， 原不等式成立． ………………………10分
（3）由（2）知，对任意的，有

． ……………………………12分
取
， ………………13分
则．
原不等式成立． ………………………………………………………14分

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