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2012年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生试卷
数学

13、如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k值为

14、如图，在中， 把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△，交AB于点E，若AD=BE，则△的面积为
15、如图，在中，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为
23．（2012金华市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。
解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．…（3分）
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1=∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．…（5分）
∴，
∵S△ABA1=4，
∴S△CBC1=；…（7分）
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，…（8分）
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；…（9分）
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7．…（10分）

28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=，∠AOC=60°。
∴OH=，CH=3 。
∴C的坐标是（，3）。
（2）∵抛物线经过C（，3）、A（，0）两点，
∴，解得。∴此抛物线的解析式为
（3）存在。
∵的顶点坐标为（，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。
把代入得：。
∴ M（，），E（，）。
同理：Q（，t），D（，1）。
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即，解得：，（舍去）。
∴ P点坐标为（，）。
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）。