三次方程根的探究.doc

三次方程根的个数探究
2009-5-5
对三次方程根的个数的考查实际就是对三次函数的极值(最值)的考查,本质上数形结合思想的综合用用.
一. (,)根的个数探究:此类问题本质是考察函数的极值问题,可利用(三根); (二根); (一根)求解.
定理1．方程根的性质(为的两个根)
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根。
证明： (1)(2)：含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且。
(3)：有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且。
(4)：有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论：
三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(m<x2) 。
例1:(09大庆一模文):已知函数,且曲线在点处的切线与x轴平行,(1)求实数的值,判断是否存在实数,使得方程恰有一个实数根,若有,求的取值范围,若不存在,请说明理由.
解:略解:
可另问:有两个实数根; 有三个实数根;求b的取值范围
例2: （07全国二理）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为： ， 即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．解略.
二. (,)根的个数探究:此类问题可通过数形结合方法加以解决
例3: (09哈三中一模文)设函数，，当时，取得极值。
(1)求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
(2)当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围；
解：（1） , 是函数的极小值；
（2）设，则 ，
设，
，令解得或， 列表如下：

4

__
0
+

则图像如图所示:

显然:.