哈尔滨六中2016届高三数学(文)期中试题及答案.doc

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期中考试
高三文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
3.已知向量若，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知则等于( )
A. B. C. D.
5.设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )
A. 当时，若，则
B. 当且是在内的射影时，若，则
C. 当时，若，则
D.当且时，若，则
6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是( )（单位：m2）．

正视图 侧视图 俯视图
A. B. C. D.
7．执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为( )
A． B． C． D．
8.设双曲线的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为，则的概率是( )
A. B. C. D.

10. 在中，，是边上的一点，，
的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数满足，，任意的，
都有是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增，
则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．随的值而变化
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设变量满足约束条件则的最大值为 .
14.定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，
则点到轴距离的最小值为 .
15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则=________.
16．长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中，
则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ．
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）证明数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
18．(本小题满分12分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.
（1）求，的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分
的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队
学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由
（方差较小者稳定）.

19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，⊥平面，， ，
，，为线段上的点,
（1）证明：⊥平面；
（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值.

20．(本小题满分12分)
已知椭圆的两个焦点为、，离心率为，直线与椭圆相交于
、两点，且满足，,为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：的面积为定值．

21．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，弦于点，是延长
线上一点，
切圆于，交于．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）求线段的长．

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆：＝经过伸缩变换后得到曲线．
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，
建立极坐标系，直线的极坐标方程为·
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；
（2）在上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离．

（24）（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲
已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.

哈六中2016届高三上文科数学期中考试试题答案
一、选择：DBBCC ABADC CB
二、填空：13. 4 14. 15. 2 16． 2
17．（本小题满分12分）
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．
（1）证明数列{an}是等比数列；
（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．

18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队
各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
（1）求，的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.
18．（1），（2）（3）甲队成绩较为稳定，理由略；
（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，
65，64，所以；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以；
（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5， 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为．
（3）因为甲的平均数为，
所以甲的方差
，
又乙的方差
，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，
PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

19．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，
故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△CAP，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．．
20．（本小题满分10分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足为坐标原点．
（1）求椭圆的方程;
（2）证明：的面积为定值．
20．（1）（2）详见解析
【解析】
试题解析：（1）由椭圆的离心率为，可得，，
即 又，∴
∴c=2，∴， ∴椭圆方程为
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设，联立
，可得，
①
∴，
∴，∴，∴，
设原点到直线AB的距离为d，则
===
=
当直线斜率不存在时，有，
∴，即△OAB的面积为定值
21．（本小题满分12分）.已知函数（）．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
21．解：（Ⅰ） 时，， 1分
切点为， 3分
时，曲线在点处的切线方程为. 4分
（II）（i），， 5分
① 当时，，, 在上单调递增， ，
不合题意. 7分
②当即时，在上恒成立，
在上单调递减，有，满足题意. 9分
③若即时，由，可得，由，可得，
在上单调递增，在上单调递减，，
不合题意. 11分
综上所述，实数的取值范围是 12分
（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．
（I）求证：△EFG为等腰三角形；
（II）求线段MG的长．

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆Cl：＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原
点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直
线l的极坐标方程为·
（I）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（II）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．
（23）（本小题满分10分）

（24）（本小题满分10劲选修4一5：不等式选讲
已知函数。
（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；
（II）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。

哈六中2016届高三上文科数学期中考试试题答案
20151103
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
D1.已知集合，，则( D )
A. B. C. D.
B2.已知，其中为虚数单位，则( B )
A. B. 1 C. 2 D. 3
B3.已知向量若，则（B ）
A． B． C． D．
C4.已知则等于( C )
A. B. C. D.
C5.设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是(C )
A.当时，若，则
B. 当且是在内的射影时，若，则
C. 当时，若，则
D.当且时，若，则
A6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是( A )（单位：m2）．

正视图 侧视图 俯视图
A. B. C. D.
B7．执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为(B )
A． B． C． D．
A8.设双曲线的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率等于(A )
A. B. C. D.
D9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为，则的概率是( D )
A. B. C. D.
C10. 在中，，是边上的一点，，
的面积为，则的长为( C )
A. B. C. D.
C11.定义在上的函数满足，，任意的，
都有是的(C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
B12.已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增，
则关于的不等式的解集为（ B ）
A． B． C． D．随的值而变化
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设变量满足约束条件则的最大值为4 .
14.定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，
则点到轴距离的最小值为 .
15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则___2_____.
16．长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中，
则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 2 ．
17.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）证明数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．

18．(本小题满分12分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.
（1）求，的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分
的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.

19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=， AD=CD=，
PA=，∠ABC=，G为线段PC上的点,
（1）证明：BD⊥面PAC;
（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值;
（3）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

20．(本小题满分12分)
已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于A、B两点，且满足为坐标原点．
（1）求椭圆的方程;
（2）证明：的面积为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．
（1）求证：△EFG为等腰三角形；
（2）求线段MG的长．

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆Cl：＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为·
（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

（24）（本小题满分10劲选修4一5：不等式选讲
已知函数。
（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；
（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。

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