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化归与转化思想解决立体几何问题
——略谈立体几何中的空间角的向量求法
钟祥市旧口高中 王辉
问题的理论背景：空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法，这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论，这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，即为我们书中提出的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。很好地体现了化归与转化的数学思想。
解有关空间角的困惑：空间中线线所成的角、线面所成的角、面与面所成的二面角，往往都需要作出其平面角，这是采用传统方法的一大难点，尤其是二面角的平面角的寻找，有时相当困难，采用向量方法求解时，无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，转化为两向量所成的角通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性。
解题时用到的有关求角公式：
设直线l，m的方向向量分别为， ，平面，的法向量分别，
线线夹角 l·m的夹角为（0≤≤）
cos=
线面夹角 l·的夹角为（0≤≤）
sin=
面面夹角 ·的夹角为（0≤≤）
cos=
具体案例：
一、求线线角的问题
例1：在正三棱柱ABC——ABC中，若AB=BB，求异面直线A B与CB所成角的大小
分析：依题可作图，直线A B与CB所成的角，其取值范围（0，]，与＜,＞相等或互补。可以推算·入手。
解法一（向量直接运算法）
∵=+
= +
⊥ ⊥
＜，＞＝600 | | =| B C|
∴·=· + ·+·+
=| | －| |=0
∴⊥，即A B与CB所成的角为900，（备注：化简的方向要先选定，，作为一个基底，其他向量向他们转化）
解法二（向量坐标运算法）
取AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，取B B=1 AB=
A(0，－，1) B(0，，0)
C (，0，0) B(0，，1)
=（0，，－1） =（－，，1）
·=0×（－）+×+（－1）×1=0
∴⊥ 即A B与CB所成的角为900。 （备注：建立空间直角坐标系的方法多样的）
二、求线面所成的角
例2：在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平在ABCD，PA=1，求PC与平面ABCD所成的角。
解：建立如图所示的空间直角坐标则P（0，0，1），C（1，，0）=(1，，－1），平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）即为向量
cos＜，＞==－
∴＜，＞=1200
∴斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为600。
∴斜线PC与平面ABCD所成的角为300。
（备注：1、先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算；2、观察图形有时可直接选取某一向量作为平面的法向量，避免再求法向量）
三、求面与面的夹角（二面角）
例3：如图，四棱锥F——ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，CF与平面ABCD垂直，CF=2，求二面角B—AF—D的大小。
解：以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。
A(0，－2，0) B（－，－1，0）
F（0，0，2） D（，－1，0）
=（－，1，0） =（0，2，2） =（，1，0）
设平面ABF的法向量=（x，y，z）则由
得 令z=1，=（－，－1，1）
同理，可求得平面ADF的法向量=（，－1，1）
·=(－)×+(－1)×(－1)+1×1=0
故⊥，所以平面ABF⊥平面ADF
那么二面角B——AF——D的大小等于。
（备注：求二面角的关键是求出对应平面的法向量，将面的问题转化为线的问题）