2015年数学高考模拟试卷2.doc

2015年江苏高考数学模拟试卷（二）
第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数的定义域为 ▲ ．
2．若复数是实数（为虚数单位），则实数的值是 ▲ ．
3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ．
4．若 ，则 = ▲ ．
5．如图所示的流程图，若输入的值为，则输出的结果 ▲ ．
6．已知实数满足约束条件 若取得最小值时的最优解有无数个，
则 ▲ ．
7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；
（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中正确的是 ▲ ．
8．设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
9．已知等比数列各项都是正数，且，则前项的和为 ▲ ．
10．在中，角所对的边分别是，则角的取值范围是 ▲ ．
11．如图，函数的部分图象，其中分别是图中的最高点和最低点，且，那么的值为 ▲ ．
12．若对任意的恒成立，则的取值范围为 ▲ ．
13．若正实数a，b，c满足，且a>b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为 ▲ ．
14．设三角形ABC的内角A、B、C所对边a、b、c成等比数列，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知向量a=(，sinθ)与b=(1，cosθ)互相平行，其中θ∈(0，)．
（1）求sinθ和cosθ的值；[来源:学．科．网Z．X．X．K]
（2）求f(x)=sin(2x＋θ)的最小正周期和单调增区间．

16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是中点，是中点，
（1）求证：面；
（2）若面面，求证：．

17．（本小题满分14分）
A
O
B
M
C
D
E
F

N
x
y
如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，（单位百米）．已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不计），交线段于点，交线段于点．现以点O为坐标原点，线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数的图象．若点到轴距离记为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．

18．（本小题满分16分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线交于、两点，点是点关于轴的对称点，求证直线过定点，并求出定点坐标﹒

19．（本小题满分16分）
在数列{an}中，(n∈N*)．从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项之列．例如数列为{an}的一个4项子列．
（1）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（2）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足 ；
（3）如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列，且{cn}为等比数列，
证明：c1＋c2＋c3＋……＋cm≤2－．

20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若求的最值；
（2）讨论的单调性；
（3）已知是图像上的二个不同的极值点，设直线的斜率为．
求证:

第II卷 （附加题 分值40分）
21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
B
C
D
E
F
O
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．

B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量．
（1）求矩阵；
（2）求曲线在的作用下的新曲线方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

D．选修4—5：不等式选讲
已知，且，求的最小值．

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．

23．（本小题满分10分）
设整数，集合是的两个非空子集．记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数．
（1）求；
（2）求．
2015年江苏高考数学模拟试卷（二）
第Ⅰ卷 参考答案与解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2．2 3． 4． 5．1 6．－ 7．、、 8．
9．1023 10． 11． 12． 13． 14．
解析：
1．只要解不等式
3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种，
6．直线y＝－ax＋z与可行域（三角形）下边界x－2y－3＝0重合时z最小，a=－
8．设点P、Q在x轴上的射影分别为焦点F1、F2，|PF1|=c(其中c为|OF1|的长)，
从而|PF2|==，所以2a=|PF1|＋|PF2|=，得e=．
9．由条件得，则
10．，又因为，得
11． 得，又当时，，得
12．由题意可知，
，
13．由已知，，，

14．=====
设a、b、c的公比为q，则b=aq，c=aq2，又 a、b、c能构成三角形的三边，所以有
，解得，即．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）因为向量a与b平行，则sinθ=cosθ，tanθ=，又θ∈(0，)，
所以θ=，所以sinθ=，cosθ=；
（2）由f(x)=sin(2x＋θ)=，得最小正周期，
由≤≤，，解得≤≤，，
所以f(x)的单调增区间为．
16．证明：（1）取中点，连，，中，且，
又，，得，四边形是平行四边形，
得，面，面，面
（2）过点作的垂线，垂足为，
面面，面面，，面
面，面，
平面，平面，
，、面，面，
面，

17．解：（1）由题意得，
又因为，所以直线的斜率，故直线的方程为，
即．
（2）由（1）易知，即．
令得，令得．
由题意解得．
．
令，则．
当时，；当时，；

∴所求面积的最大值为．
18．解：（1）设椭圆E的方程为，由已知得：
，椭圆E的方程为
（2）设，，则，
直线:，与椭圆方程联立，
得，得，
点在直线上，则，
直线方程：，化简得：，
则直线过定点
19．解：（1）3项子列；(答案不唯一)
（2）由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2－b1<0．
若b1=1，若{bn}为{an}的一个5项子列，得b2≤，所以d=b2－b1≤－1=－，
又b5=b1＋4d，b5>0，所以4d=b5－b1=b5－1>－1，即d>－，与d≤－矛盾，所以b1≠1．
所以b1≤，因为b5=b1＋4d，b5>0，所以4d=b5－b1≥b5－>－，即d>－，
所以．
（3）由题意，设{cn}的公比为q，则：c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)，
因为{cn}为{an}的一个m项子项，所以q为正有理数，且q<1，c1=≤1(a∈N*)，
设q=，且K，L互质，L≥2)，
当K=1时，因为q=≤，所以c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)≤
1＋＋＋……＋=2－；
当K≠1时，因为cm=c1qm－1=是{an}的项，且K、L互质，所以a=Km－1×M(M∈N*)
所以c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)=
因为L≥2，M∈N*，所以c1＋c2＋c3＋……＋cm≤1＋＋＋……＋=2－；
综上，c1＋c2＋c3＋……＋cm≤2－．
20．解：（1）当时， ，
在上单调递增，在上单调递减

（2）
i: ，在上单调递减．
ii: 时，
① 当时，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
② 当时，
在上单调递增，在上单调递减．
（3）设
则是方程的二个根，且，

令， ，在上单调递增
， 即
，

第II卷 参考答案与解析
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
解：连接OD，BC，设BC交OD于点M．
因为OA=OD，所以OAD=ODA；又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE
所以OD//AE；又 因为ACBC，且DEAC，所以BC//DE．
所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD
由，设AC=3x，AB=5x，则OM=，又OD=，
所以MD=-=x，所以AE=AC+CE=4x，因为OD//AE，所以=．
B．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）由已知，即，
，所以；
（2）设曲线上任一点，在作用下对应点，则
即，解之得，代入得，
即曲线在的作用下的新曲线的方程是．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，
圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0．
圆C的圆心(2，0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝．又圆C的半径r＝2，
因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2．
D．选修4—5：不等式选讲
解：， ，
，
， 当且仅当，或时
的最小值是1．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）以O为原点，分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立直角坐标系
A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)

异面直线与所成角的余弦值为．
（2），设平面ABE的法向量为，
则由，得
平面BEC的法向量为
， 二面角的正弦值为．
23．解：（1）当3时，P{1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，
({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a3；
（2）设A中的最大数为k，其中，整数3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：，
B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能
都不在B中，故B的个数为：，
从而集合对(A，B)的个数为，
所以an．