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第三节 变量间的相关关系
强化训练当堂巩固
1.下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A.已知二次函数其中a,c是已知常数,取b为自变量,自变量和这个函数的判别式
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
答案:A
解析:由函数关系和相关关系的定义可知A中因为a、c是已知常数,b为自变量,所以给定一个b的值,就有唯一确定的与之对应,所以与b之间是一种确定的关系,是函数关系.BCD中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的,所以不是函数关系.
2.工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为则下列判断正确的是（ ）
A.劳动生产率为1 000元时,工资为130元
B.劳动生产率提高1 000元时,工资提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时,工资提高130元
D.当月工资250元时,劳动生产率为2 000元
答案:B
解析:变量x增加1 000元,工资提高80元,故选B.
3.已知回归直线方程的估计值为 .
答案:11.69
解析:把x=25代入得5.81=11.69.
4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请画出上表数据所对应的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:2.5+4+.5=66.5)
解:(1)题中数据的对应散点图如下图.
(2).5,
.5,
..5=66.5,
，
.
故线性回归方程为
(3)根据(2)中的回归方程可得,现在生产100吨甲产品的生产能耗的数量约为
0..35=70.35,
故生产能耗比技改前减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).
课后作业巩固提升
见课后作业B
题组一 相关关系的判断
1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ( )
A.角度和它的余弦值
B.正方形的边长和面积
C.正n边形的边数和顶点角度之和
D.人的年龄和身高
答案:D
解析:A、B、C中的两个变量都是函数关系,它们可以用函数关系式来表示,D中的两个变量之间的关系是相关关系.
2.下列关系属于线性相关关系的是( )
①父母的身高与子女身高的关系
②圆柱的体积与底面半径之间的关系
③汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程
④一个家庭的收入与支出
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案:C
解析:根据相关关系的定义可得,①③④是相关关系,②是函数关系.
3.下列说法正确的是( )
A.中的x,y是具有相关关系的两个变量
B.正四面体的体积与其棱长具有相关关系
C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D.传染病医院感染非典的医务人员数与该院收治的非典病人人数是具有相关关系的两个变量
答案:D
解析:A、B中的两个变量都是函数关系,它们可以用函数关系式来表示;C中的两个变量具有相关关系而不是函数关系.感染非典的医务人员数不仅受收治病人数的影响,还受防护措施等其他因素的影响,所以选D.
4.下表是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是否具有线性相关关系 (填“是”或“否”).
答案:否
解析:由于散点图中各点并不在一条直线的附近,所以它们不具有线性相关关系.
题组二 线性回归直线方程
5.有关线性回归的说法,不正确的是( )
A.相关关系的两个变量可能不是因果关系
B.散点图能直观地反映数据的相关程度
C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D.任一组数据都有回归方程
答案:D
解析:并不是任一组数据都有回归方程,例如当一组数据的线性相关系数很小时,这组数据就不会有回归方程.
6.下列有关回归直线方程叙述正确的是（ ）
①反映与x之间的函数关系；②反映与x之间的函数关系；③表示与x之间的不确定关系；④反映最接近与x真实关系的一条直线.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案:D
解析: 表示与x之间的函数关系，不是与x之间的函数关系，它反映的关系是最接近与x之间的真实关系，所以选D.
7.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:
由表中数据得回归方程y .
答案:60
解析:
又回归方程必定过点,
∴∴a=60.
题组三 利用回归方程对总体进行估计
8.若施化肥量x (kg)与水稻产量y(kg)的回归直线方程为预计水稻产量为 .
答案:650
解析:将x=80代入 即可得水稻的产量为
9.一位母亲记录了她的儿子从3到9岁的身高数据如下表:
则关于预测她儿子10岁时身高的说法正确的是( )
A.身高一定是145.86 cm
B.身高一定在145.86 cm以上
C.身高在145.86 cm左右
D.身高一定在145.86 cm以下
答案:C
解析:根据条件求出线性回归方程,将10代入即可求得身高约为145.86 cm,
即身高在145.86 cm左右.
10.在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤:
①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可靠性要求能够判定变量x、y具有线性相关性,
则在下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①
答案:D
解析:根据线性回归分析的思想,可知对两个变量x,y进行线性回归分析时,应先收集数据然后绘制散点图,再求相关系数和线性回归方程,最后对所求的回归方程作出解释,因此选D.
11.比较两个模型的拟合效果,可用两种方法: 和 .
答案:比较两个模型的残差 比较两个模型的相关系数的大小
解析:由回归分析的思想可知以残差和相关系数的大小比较两个模型的拟合效果.
12.由施肥量x与水稻产量y试验数据的关系,画出散点图,并指明相关性.
解:散点图为:
通过图象可知施肥量x与水稻产量y是正相关.
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