《2.4-二项分布》-导学案.doc

《2.4 二项分布》 导学案
学习目标
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.
2.能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.
重点
独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法，试验的概念及二项分布的概念.
难点
二项分布模型的构建.
教学过程
掷一次硬币可看作一次试验，每次试验有两个可能的结果:正面、反面.由于硬币均匀，所以出现正面的概率为，如果将这枚均匀硬币随机掷100次，那么正好出现50次正面的概率是否也是呢？
问题1:前一次抛掷的结果是否影响后一次的抛掷的结果？或者说每次抛掷是否相互独立？
前一次抛掷的结果　不会　影响后一次的结果，因为它是在相同的条件下作的试验，每一次试验　都是　相互独立的，不会有影响. 
问题2:什么是n次独立重复试验？有什么特点？
在相同条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验特点如下:①每次试验是在同样条件下进行的；②各次试验的结果是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等.
问题3:什么是二项分布？
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-k　，k=0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作　X~B(n，p)　，并称p为　成功概率　. 
利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.
学习交流
1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，发生k次的概率为(　　).
A.1-pk　　　　 B.(1-p)kpn-k
C.(1-p)k　　　 D.(1-p)kpn-k
【解析】在n 次独立重复试验中，事件恰发生k次，符合二项分布，而P(A)=p，则P()=1-p，故P(X=k)=(1-p)kpn-k，故选D.
【答案】D
2.已知随机变量X~B(5，)，则P(X≥4)=　　　　. 
【解析】P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=()4(1-)+()5(1-)0=.
【答案】
3.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01)
【解析】10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X~B(10，0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X=9)=×0.99×0.11≈0.39.
4.二项分布公式的应用
种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求:
(1)恰好成活4棵的概率；
(2)至少成活4棵的概率；
(3)至多成活4棵的概率.
(结果保留两位有效数字)
【方法指导】由独立重复试验的概率公式计算，结合互斥事件和对立事件的概率求解.
【解析】(1)恰好成活4棵的概率为
P(X=4)=×0.94×(1-0.9)5-4≈0.33；
(2)至少成活4棵的概率为
P(X≥4)=×0.94×(1-0.9)5-4+×0.95×(1-0.9)5-5≈0.92；
(3)至多成活4棵的概率为
P(X≤4)=1-P(X=5)=1-×0.95×(1-0.9)5-5≈0.41.
【小结】由于各次种植的概率相同，各次种植之间相互独立，虽然各次种植的时间不同，但可以看作是在相同的条件下进行的五次独立重复试验.在解决实际问题时要把握好独立重复试验概型的基本特征——每次发生的概率相同、各次之间相互独立.

5. 二项分布的概率分布列
9粒种子分别种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列.
【方法指导】只需计算每个坑补种的概率即可.
【解析】因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=，所以一个坑不需要补种的概率为1-=.
3个坑都不需要补种的概率为
×()0×()3≈0.670，
恰有1个坑需要补种的概率为
×()1×()2≈0.287，
恰有2个坑需要补种的概率为
×()2×()1≈0.041，
3个坑都需要补种的概率为
×()3×()0≈0.002.
补种费用X的分布列为:
X
0
10
20
30
P
0.670
0.287
0.041
0.002

　　【小结】如果是在相同的条件下进行的某种活动，如射击、投篮等，其每次活动成功的概率相同，则其成功次数就服从二项分布.
有放回与不放回抽取问题
在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件不放回，求抽到次品数X的分布列.
【方法指导】根据题意判断试验类型，进一步计算.
【解析】抽取一次，抽到次品的概率为=0.2，连抽3次抽到次品数X，X~B(3，0.2)，
P(X=k)=×0.2k×0.83-k，k=0，1，2，3.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
×0.83
×0. 82×0.21
×0.81×0.22
×0.23

　　[问题]这样做对吗？
[结论]不对.此题的题目中是不放回地抽取，每次抽取的条件不同，不是独立重复试验，不属于二项分布.
正解如下:由于是不放回试验，故X服从超几何分布.
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.
所以X的分布列为:

X
0
1
2
P

　【小结】在这类问题中如果是有放回地抽取，则每次取出次品的概率相等，取出的次品数就服从二项分布；但如果是不放回地抽取，则抽出的次品的概率就会发生变化，这时取出的次品数服从超几何分布.
例题应用
例一 某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为，求:
(1)在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；
(2)至少有一台处于停车的概率.
【解析】设有X台车床处于停止状态，则X~B(5，).
(1)在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率为P(X=3)=×()3×(1-)5-3=.
(2)至少有一台处于停车的概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×()0×(1-)5-0=.
例二 加工某种零件要经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响.
(1)求这种零件合格的概率；
(2)从该种零件中取4次，求合格品的概率分布列.
【解析】(1)设事件A表示零件合格的概率，由每道工序是相互独立的，
则有P(A)=××=.
(2)设X表示合格品的个数，则
P(X=0)=×()0×(1-)4-0=，
P(X=1)=×()1×(1-)4-1=，
P(X=2)=×()2×(1-)4-2=，
P(X=3)=×()3×(1-)4-3=，
P(X=4)=×()4×(1-)4-4=.
故合格品的概率分布列为:
X
0
1
2
3
4
P

例三 若把探究三的条件改为“每次抽1件，然后放回”，求抽到次品数X的分布列，那么答案是什么？
【解析】抽取一次抽到次品的概率为=0.2，抽到次品数X，X~B(3，0.2)，P(X=k)=×0.2k×0.8(3-k)，k=0，1，2，3.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
×0.83
×0.82×0.21
×0.81×0.22
×0.23

课堂练习
1.某学生解选择题出错的概率为0.1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是(　　).
A.0.12×0.9
B.0.13+0.12×0.9+0.1×0.92
C.0.13
D.1-0.93
【解析】设该生错了X道选择题，则有P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×0.10×(1-0.1)3-0=1-0.93.
【答案】D
2.某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至多击中3次的概率是　　　　. 
【解析】设击中目标的次数为X，则P(X≤3)=1-P(X=4)=1-×0.84×(1-0.8)4-4=0.5904.
【答案】0.5904
3.在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列.
【解析】设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.
所以解出该题人数X的分布列为:
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04

　　4.(2010年·湖北卷)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为　　　　(用数字作答). 
【解析】本题主要考查二项分布.
·0.93·0.1+0.94=0.9477.
【答案】0.9477

课后练习
1.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为(　　).
A.3.32×10-5　　　　　　　B.3.32×10-9
C.6.64×10-5 D.6.64×10-9
【解析】相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P=×0.0024×(1-0.002)6≈3.32×10-9，应选B.
【答案】B
2.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　).
A.()3· B.()2()
C.()3() D.()3()
【解析】由题意可知，甲最后一场一定取胜，前3场有2胜1负，服从二项分布，P=()3·.
【答案】A
3.如果X~B(20，p)，当p=且P(X=k)取得最大值时，k=　　　　. 
【解析】当p=时，P(X=k)=()k·()20-k=()20·，显然当k=10时，P(X=k)取得最大值.
【答案】10
4.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p，且各引擎是否出现故障是独立的.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就能正常飞行；2引擎飞机中要2个引擎全部正常运行，飞机才能正常飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是多少？
【解析】由题意，4引擎飞机正常飞行的概率为p3(1-p)+p4，2引擎飞机正常飞行的概率为p2，所以p3(1-p)+p4>p2，解得<p<1，即p的取值范围是(，1).
5.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)等于(　　).
A.()2× B.()2×
C.()2× D.()2×
【解析】P(ξ=3)表示第3次首次测到正品的概率，故第1、2次都是次品，即P(ξ=3)=()2×.
【答案】C
6.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则他恰好击中目标3次的概率为(　　).
A.0.93×0.1 B.0.93
C.×0.93×0.1 D.1-0.13
【解析】由独立重复试验公式可知选C.
【答案】C
7.一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为　　　　.(设每次命中的环数都是自然数) 
【解析】由题意知打3发得到不少于29环，则含有的情况为2发10环1发9环或3发都为10环，故所求概率为×0.72×0.3+×0.73=0.784.
【答案】0.784
8.某人从第一层坐电梯到第十层，则从第二层到第九层电梯停的次数不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？(假设每层停的概率为)
【解析】依题意，从第2层到第9层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，…，直到停8次.
∴所求概率P=()3()5+()4()4+()5()3+…+()8=(+++…+)()8=[28-(++)]()8=(28-37)()8=.
设从第2层到第9层停k次，则其概率为()k()8-k=()8，
∴当k=4时，最大，即()8最大，
∴从第2层到第9层停不少于3次的概率为，停4次概率最大.
9.下列例子中随机变量X服从二项分布的有　　　　. 
①随机变量X表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)；
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数.
【解析】对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”， P(A)=，而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k=0，1，2，…，n)的概率P(X=k)=×()k×()n-k，符合二项分布的定义，即有X~B(n，)；对于②，X的取值是1，2，3，…，P(X=k)=0.9×0.1k-1(k=1，2，3，…，n…)，显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布；③和④的区别在于:③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此X不服从二项分布，对于③有X~B(n，).故应填①③.
【答案】①③
10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击5次后被中止射击的概率.
【解析】(1)甲至少1次未击中目标的概率p1是
p1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)
=1-P4(0)=1-()4×()0=.
(2)甲射击4次恰击中2次的概率为p2=()2×()2=，
乙射击4次恰击中3次的概率为p3=()3×=，
由乘法公式，所求概率p=p2p3=×=.
(3)乙恰好射击5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为p=()3×()2+()2×()3=.