指数阻尼振子最优性的必要条件.pdf

第52 卷第3期2023年6 月D0I:10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.03.008上海师范大学学报（自然科学版）Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)指数阻尼振子最优性的必要条件Vol.52,No.3Jun.,2 0 2 3修国众，王丽英”，时宝3（1.郑州工业应用技术学院软件学院，河南新郑450 0 6 4；2.海军航空大学航空基础学院，山东烟台2 6 40 0 1；3.烟台南山学院数理部，山东龙口2 6 57 13）摘要：设计了单输入多变量系统的最优控制问题，动态约束为n阶指数阻尼振子，得到了指数阻尼振子最优性的必要条件，以单自由度指数阻尼振子的最优控制问题为例,采用一组内部变量替换来求解两点边值问题，得到了单自由度指数阻尼振子最优性的必要条件.数值模拟结果很好地展示了该控制设计。关键词：指数阻尼振子；最优控制；两点边值问题；性能指标函数中图分类号：0 2 9文献标志码：A文章编号：10 0 0-5137(2 0 2 3)0 3-0 332-0 7Necessary conditions for optimality of exponentially damped oscillatorsXIU Guozhong,WANG Liying,SHI Bao3*(1.School of Software,Zhengzhou University of Industrial Technology,Xinzheng 450064,Henan,China;2.School of Basic Sciences for Aviation,Naval Avition University,Yantai 264001,Shandong,China;3.Department of Mathematics and Physics,Yantai Nanshan University,Longkou 265713,Shandong,China)Abstract:In this paper,the optimal control problem of the single-input multi-variable system is designed.The dynamicconstraints are the n-order exponentially damped oscillators,and the necessary conditions for the optimality of the exponentiallydamped oscillators are obtained.Taking the optimal control problem of the exponentially damped oscillators of single degree offreedom as an example,a set of internal variables are used to solve the two-point boundary value problem,and the necessaryconditions for the optimality of the exponentially damped oscillators of single degree of freedom are obtained.The numericalsimulation results show the above control design well.Key words:exponentially damped oscillators;optimal control;two point boundary value problem;performance index function收稿日期：2 0 2 2-12-2 1基金项目：河南省高等学校重点科研项目（2 3B110013）；郑州市智能交通视频图像感知与识别重点实验室项目（郑科2 0 2 0 34号）；郑州工业应用技术学院重点项目（2 0 2 3ZD005）作者简介：修国众（197 9），男，讲师，主要从事分数阶控制、智能控制方面的研究.E-mail：x i u g u o z h o n g 2 0 13 16 3.c o m*通信作者：时宝（196 2 一），男，教授，主要从事微分方程理论、分数阶控制方面的研究.E-mail：b a o s h i 7 8 1s o h u.c o m引用格式：修国众，王丽英，时宝.指数阻尼振子最优性的必要条件J.上海师范大学学报（自然科学版），2 0 2 3，52(3):332-338.Citation format:XIU G Z,WANG L Y,SHI B.Necessary conditions for optimality of exponentially damped oscillators J.Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences),2023,52(3):332-338.第3期0 引 言随着现代工业材料的广泛应用，越来越多的新材料、仿生材料、聚合物材料、高分子黏弹性材料在生产和军事中得到了广泛应用，比如：安装在舰艇上用以减少发动机的振动和噪声；安装在飞机和舰艇上的控制盘、陀螺仪表等机械设备上，以提高仪器的安全性和可靠性.近年来,越来越多的学者采用指数阻尼模型来描述这类高分子黏弹性阻尼材料1-3,其不仅能够更好地体现阻尼的物理本质是一个过程而不是一个简单的常量，而且数学表达形式简单,经过变量替换后能够带来计算上的方便.目前,关于指数阻尼模型的研究已取得大量的理论成果,大多集中在阻尼系统动力学分析和系统的特征值、特征向量方面.比如剑桥大学著名教授ADHIKARI等4-7 对指数阻尼模型进行了系统的研究，包括指数阻尼单自由度和多自由度系统的动力学.华中科技大学LI等8 对指数阻尼系统展开了研究，给出了具体材料指数阻尼模型参数的确定方法，并通过试验进行了验证.LAZARO等9提出了一种计算线性黏弹性振子特征值的新方法，以指数阻尼模型、分数阶导数阻尼模型和黏性模型为例,对该方法进行了验证.该模型近十年来受到越来越多的关注10-12 ,然而关于指数阻尼振子最优控制的研究在文献中却鲜有发现.本文作者设计了指数阻尼振子的最优控制方法.首先，提出n阶指数阻尼振子的伪状态空间表达，它与整数阶情况非常相似；然后，给出单输入多变量系统的最优控制问题，动态约束涉及指数阻尼振子，得到指数阻尼振子最优性的必要条件；最后，选取单自由度指数阻尼振子的最优控制问题作为例证，得到单自由度指数阻尼振子最优性的必要条件，这是一个两点边值问题，采用一组内部变量替换来求解两点边值问题,并数值模拟验证了该方法的有效性.该方法也可应用于多自由度指数阻尼振子的最优性问题.1指数阻尼振子的伪状态空间表示为了描述黏弹性材料的本构关系,采用以下卷积型非黏滞阻尼模型,该模型依赖于过去的运动历史：(1)其中,(t)是应力,(t)是应变,G(t)是核函数.在本文中,核函数采用指数阻尼模型,即(2)k=1其中,iR+称为松弛参数,n表示用于描述阻尼特性的松弛参数的数目,C.RNN是阻尼系数矩阵.现在考虑n阶指数阻尼振子dx(t)+an-1d-Ix(t)+.+aidx(t)+CmJ.ume-(-)(t)d.dtdt-1修国众，王丽英，时宝：指数阻尼振子最优性的必要条件(t)=J G(t-t)de(t),dt3330+c,ier(-)(t)d+aox(t)=u(t),0其中,c1,c2,cm是非零实数.假设x=x1,dx=X2，dtdt?x00dX2+dt：LXJLCI000000+Lcm00将上式可以简写成如下形式：(3)d?xd-xX3，=X，上面的振子方程可以表示为：dt-10000ieu：00umem(t-t)000 x2000u;(t-t)dt+：Lx,01020dt=Lx,L-ao-a1-a20Mm-iem1：0Lcm-10001：文2-,(t-t)dtL文,0X0X2+：-an-1JLxn-0Uu.L1J(4)334其中，将上述表示方式称为伪状态空间13.不难看出，上述振子类似于整数阶形式，但积分项的存在使得计算更加复杂。2指数阻尼振子的最优控制问题考虑一个单输入多变量系统.系统动态约束采用上述指数阻尼振子表示，但只限制一个积分项.性能指标函数表示如下：(5)受系统动态约束：X+P/,ue-(c-t)X(t)dt=AX+bu.定理假设X(O)=X，X(t)边界条件是自由的,t,是固定的.其中,Q是与状态向量相关的加权矩阵,r是与控制信号相关的加权系数.这里,X()和u(t)分别是n维状态向量和单输人控制变量.Ae R,beR1.现在假设下列条件成立：（1）Q n x n 是非负正定矩阵；(2)r0;0000(3)P,nxn则可得到指数阻尼振子最优性的必要条件，如方程（12），（13)和（14)所示。证明为了得到由式(5)、式(6)所组成控制问题的最优性条件，按照传统的方法，假设2(t)是La-grange乘数.将增强性能指标构造为：J.(u)对方程(7)进行变分，则可以得到：J.(u)=(QX+AT2)TSX-2TSX-2TPS上海师范大学学报（自然科学版）J.Shanghai NormalUniv.（Na t.Sc i.）ie-k(-t)X(t)dt+.+P.+m-X0X200X=P：Lx,JLci00J(u)00其中，k是非零实数.：Lk02023年m-e-(-)X(t)dt+P.mme-w(-)X(t)dt=AX+bu,0001000,1im,A=：(XQX+ru)+a(AX+bu-X-PJ,ue-X(t)dt)ue-l-X(t)dt+(ru+bT2)ou01：L-ao-a1-a2f(xroX+ru)dt,00,b=：-an-1Jdt.o0：L1(6)(7)+AX+bu-X-PJ.ue-M-X(t)dt)分别计算式(8)积分项中的第二项和第三项,得到了如下结果：T.dSX(-aTX)dt=-Tdt=0dt=-TXI+SXdaT=-aT(t,)SX(t)+aT(0)sX(0)+82dt.aTdSX(8)iTsXdt.第3期因为X(0)=X,是常数,所以SX(0)=0,但X(t,)不是确定的,所以需要(t)=0.因此,可以得到：ue7修国众，王丽英，时宝：指数阻尼振子最优性的必要条件(-TsX)dt=/elX(t)dtdt-335iTiXdt,(9)el$X(t)dtdteetaTPe-fdt-uaTpsX(t)dt.将上述计算结果代人式（8），可得：J1dtduaTPefdtdt-QX+ATa+i+u?epTuaTPe-dtTaT Pedte:X(t)-iX(0)dtuaTPe-rdtdoX(t)-)uPT2SX+(ru+bTa)ouX(t)deuaTPelfdt(10)+(AX+bu-X-PJ,e-M-)X(t)dt)sadt,(11)J(u)最小化(因此J(u)最小化)要求式(11)中的系数8 a,X,ou均为零.所以可得：X+PJ,ue-X(t)dt=AX+bu,?ePTLae-dt-uPTa+QX+ATa=0,ru+bTa=0,边界条件为：X(0)=Xo,2(t.)=0.方程（12），（13)和（14)是指数阻尼振子最优性的必要条件，方程（12），（13），（14)和边界条件（15)构成指数阻尼振子最优控制问题的边值问题，可以用直接的数值方法来求解.这里只讨论在系统动力约束条件下一个积分项的最优控制问题，同样的方法也可用于求解系统动态约束下具有多个积分项的最优控制问题.如果用多输入系统代替单输入系统，也可用这种方法来解决3数值例子选取单自由度指数阻尼振子的最优控制问题，作为数值例子来验证上述结果的正确性.运动方程表示为：(16)mx(t)+cJ,ue-(-t)x(t)dt+kx(t)=u(t),(17)其中,m是质量,k是刚度,c是阻尼系数,u(t)是作用在系统上的控制力,x(t)是位移.定义状态向量：x=xi,x=x2.然后将方程(17)转化为：dt=十leL2JC0m为了便于计算，可以取m=1，c=1，k=1.然后将方程简化为：X+P J,e-(-t)X(t)dt=AX+bu.(12)(13)(14)(15)mx(t)+JG(t-t)x(t)dt+ka(t)=u(t),000XkX20Xm0X1u.m(18)(19)336其中，上海师范大学学报（自然科学版）J.Shanghai NormalUniv.（Na t.Sc i.）X2023年000下面讨论具有单自由度的指数阻尼振子的最优控制问题.性能指标函数J(u）受系统动态约束X+Pf,ue-r(-t)X(t)dt=AX+bu.107给定的初始条件为X=10T,X(t)是自由的,t=1,其中,QLO1由定理得到的指数阻尼振子最优性的必要条件可知，末端时刻固定时最优解的必要条件为：00X+e-(l-t)X(t)dt=L100aedt=uLO0X=1 0,a(1=0 0.方程(2 2)(2 5)构成了两点边值问题.为了求解,引入内部变量y(t),y2(t),并假设：i(t)=J,ue-(-(t)dt,ye(t)=J,er(-)(t)dt.对式(2 6)应用Leibniz积分微分法则,可以得到：j.(t)=-uy(t)+X(t),3:()-1(0)+().把方程（2 8)代人方程（2 2），则可以得到：(I+P)X-1)Py,=AX+bu.由方程(2 8)和方程(2 9)组成以下方程组：(I+P)X-Pji=AX+bu,从ji(t)+X(t).同样对式(2 7)应用Leibniz积分微分法则，可以得到：j2(t)=My2(t)-a(t),3:()-:()+(),.把方程（32)代人方程（2 3）,则可以得到：i+PTj2+QX+ATa=0.方程(31)和方程(33)组成以下方程组：i+PTj2+QX+ATa=0,(y(t)-uy2(t)+a(t)=0.方程（30)和方程（34)与边界条件方程(2 5)形成两点边值问题，用Matlab仿真直接求解这8 个线性方程，一0(XrQX+ruz)dt,01X+-10010XLOLO1u=-001元,(20)(21)u，(22)1010(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)第3期可以得到如下结果.图1和图2 展示了取不同值时的状态变量和控制变量的变化曲线.从这2 个仿真图中，可以看到单自由度指数阻尼振子的最优控制效果非常好.为了便于更直观地比较状态变量和控制变量的变化情况，将u取不同值的状态变量和控制变量分开进行比较，从图3可以看出，=0.2时的状态变量x,比=1时的变化大，说明控制变量=1对状态变量x,控制效果更佳.从图4可以看出，=0.2时的状态变量x比=1时的变化大,说明控制变量=1对状态变量x,控制效果更佳.从图5可以看出,=0.2时的控制量u变化比=1时的变化小,说明控制变量=1的控制收敛速度比=0.2的更好.1.00.80.60.40.20-0.2-0.400.10.20.30.40.50.6 0.70.80.91.0图1从=0.2 时状态函数和控制函数的变化1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.100.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01图3状态函数x的变化情况0.04 J0.20.020-0.020.04-0.06-0.08-0.10-0.1200.1 0.20.30.40.50.60.7 0.8 0.91.0图5控制函数u(t)的变化修国众，王丽英，时宝：指数阻尼振子最优性的必要条件1.0-X10.8u0.60.40.20-0.2-0.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0图2=1时状态函数和控制函数的变化0.5-=1.00.40.30.20.10-0.10.2-0.3-0.4-0.500.10.20.3 0.40.50.6 0.70.80.91.0图4状态函数x2的变化情况-=1.0337XX2u一u=1.0.-=0.2338上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）2023年4 结语本文作者提出了一种利用伪状态空间表示方法求解指数阻尼振子最优控制问题，得到了指数阻尼振子最优解的必要条件.以单自由度指数阻尼振子为例，得到指数阻尼振子最优性的必要条件包括左、右积分项，引人内部变量来扩展指数阻尼振子的状态空间表达.得到8 个线性方程组，这8 个线性方程组与边界条件一起构成两点边值问题，采用直接数值方法求解两点边值问题，数值仿真结果很好地展示了上述控制设计。参考文献：1BENAMEUR J.Global weak solution of 3D-NSE with exponential damping JJ.Open Mathematics,2022,20(1):590-607.2RICHTER J,JIN F,KNIPSCHILD L,et al.Exponential damping induced by random and realistic perturbations J.Physical Review E,2020,101(6):062133.3XIU G Z,YUAN J,SHI B,et al.Hereditary effects of exponentially damped oscillators with past histories J.Journalof Applied Analysis and Computation,2019,9(6):2212-2223.4ADHIKARI S.Structural Dynamic Analysis with Generalized Damping Models MJ.New York:John Wiley and Sons,Inc.,2014.5 ADHIKARI S.Dynamic response characteristics of a nonviscously damped oscillator 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