第六单元测试立体几何综合测试题.doc

测试六 立体几何综合
一、 选择题
1、在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 （ C ）
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PAE
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面ABC
2、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为 （ D ）
（A）1：3 （B）1：2 （C）1： （D）1：
3、正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
4、正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与地面所成二面角的正弦值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
5、一个三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 （ A ）
（A）16π （B）32π （C）36π （D）64π
6、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上的点，PQ=,则三棱锥P—BDQ的体积为 （ C ）
（A） （B） （C） （D）不确定
7、若三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
8、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ C ）
（A） （B）2+ （C）4+ （D）
9、PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
10、正方体ABCD—A1B1C1D1中，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则……（ B ）
（A）S为定值，l不为定值 （B）S不为定值，l为定值
（C）S与l均为定值 （D）S与l均不为定值
二、 填空题
11、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______．
12、如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 ．
A
C
B
C1
B1
A1
P
13、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是_5______．
14、已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 ．
15、若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积S= ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V= ．
16、四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影为△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体 ①③ （填上所有正确命题的序号）．
三、 解答题
17、如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（II）该最短路线的长及的值；
（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为．
（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为
．
，,
故．
（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线
在中,

又,
由三垂线定理得．
就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）,
侧面是正方形,
． 故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为．
18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）．
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，
解:（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF．
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AFDE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．
（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD． 连结AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是
C1H在底面ABCD内的射影．
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角．
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，
∴tan∠C1HC=．
∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=．
故二面角C1—EF—A的大小为
19、（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明EA∥平面；
（I）解：过作平面平面，垂足为．连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角．
因为，所以为的平分线
又因为，所以，且为的中点
因此，由三垂线定理
因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即
由于四边形为平行四边形，得
所以，与底面所成的角度为
（II） 证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF．
在平行四边形中，因为F是的中点，所以
而EP平面，平面，所以平面
（III）解：连接．在△和△中，
△△
又因为平面，所以是△的外心
设球心为，则必在上，且
在Rt△中，△
球的体积△
20、如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．
Q
B
C
P
A
D
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．
解（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM．
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM． 从而AD⊥平面PQM．
又平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC．从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角．
因为，
所以．
从而异面直线AQ与PB所成的角是．
(Ⅲ)连结OM，则．所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ．
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD． 从而PM的长是点P到平面QAD的距离．
在直角△PMO中，．
即点P到平面QAD的距离是．
21．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
图1
图2

解：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF． AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1—－EF－B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP
（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的斜线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BP．从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q．在△EBP中, BE=BP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP．又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600
在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形，∴PF=1．又∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, ∴A1F=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角．
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴． ∵ MQ⊥A1P,MQ==∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B－A1P－F的大小为．
5