第五章--连续时间模型和Black-Scholes公式学习资料.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式,5.1,连续时间股票模型,令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗运动，即股票价格变动由模型,来决定。其中S代表股票价格，代表期望回报率，代表资产波动率，dW代表标准布朗运动。,5.2,离散模型,首先看离散资产价格模型。设在时刻,时的资产价格为,，然后设 得到在,0,t,T,上离散时间的资产价格模型：,其次看连续资产价格模型，由,(2),式分别表示,，得到极限形式,由,对（3）用中心极限定理，则 可表示为具有数学期,望 和方差 的正态随机变量。即：,由此，在t时刻资产价格的动态连续时间可表达为：,还能离散地得到任意时间序列0=t,0,t,1,t,2,t,m,的资产价格为：,资产价格路径的随机模拟,可以用（5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以0=t,0,t,1,t,2,t,m,=T模拟S（t）的值，则可根据公式：,来计算故轨迹 就是离散资本几个路径，也可以用公式：,由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率等于无风险利率r,故（7）可以重写为：,通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设 为n资产价格路径（n=1，2，N）则由（8）可得：,其中 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率，代表资产波,动率，代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格,时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟,来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路,径等方面的应用。,对数正态模型,其中W,T,是均值为0，方差为T的随机正态分布变量，,将围绕该直线波动，因此，如果,我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在,一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直线。,5.3,连续时间模型的分析,方程 是一个随机微分方程（SDE），大多数的SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解就是几何布朗运动。,这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7）,这里，B,t,是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价的几何布朗运动模型（GBM）。注意：,右边的表达式是一个均值为 ，方差为 的正态随机变量。,在几何布朗运动模型中，有两个变量：波动率 和漂移率 ，但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到,但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。,几何布朗运动参数估计,假设有一段时间0,T内的股价记录。这段时间由n个长度相等的子区间 组成，再假设已知每个子区间末的股价，将股价表示为：第i个子区间末的股价，样本观测值为n+1个。,第一步：,计算时间序列值：,由几何布朗运动模型 值满足如下等式：,几何布朗运动模型 具有下面的性质：,1、是一个正态随机变量，方差为 ，均值为0；,2、这些差是相互独立的随机变量。,第二步：,计算系列数值 的均值和方差。,令 表示均值，则 样本方差 表示为：,U的观测值均值为 方差为,第二步：,解方程 和 得到 很容易得到：,5.4 Black-Scholes,公式,我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识，这些知识主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的，内容包括,维纳过程、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布,等等这些内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。,维纳过程,在介绍维纳过程之前，先简单介绍一下,马尔科夫过程,。它是一种特殊的随机过程，在该过程中，变量的变化仅依赖于该变量前一瞬间的状态。当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻时间内变化的方差具有可加性，但标准差不具有可加性。马尔科夫过程的重要特征是：变量的随机变化是独立同分布的。,维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维纳过程，则该变量的期望为0，方差为1.股票价格模型通常用维纳过程表达。在物理学中，这种过程也被称为布朗运动。,如果变量z=z(t)服从维纳过程，则其增量 必须满足如下两个,基本性质：,性质1,：之间满足关系,其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。,性质2,：对任何两个不同的时间间隔的值相互独立。,由性质1，得出 服从期望值为0，方差为 ，标准差为 的正态分布。性质2意味着变量z=z(t)服从马尔科夫过程。,再由性质1，当,一般维纳过程,变量x服从一般维纳过程的定义如下：,dx=adt+bdz （3）,a是一般维纳过程的预期漂移率，b是波动率。,式（3）由两项组成，如果不考虑bdz，则有dx=adt或,x=x,0,+at。其中x,0,为x在0时刻的值，经过t时刻后，x增加值为at。,如果仅考虑bdz，则dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在变量x,轨迹上的噪声或者波动，这些噪声或波动是维纳过程的b倍。,将adt和bdz一并来考虑，则有dx=adt+bdz。经过时间增量 之,后，x的增量为 。将（1）代入上式，有,如前所述，是自标准正态分布中随机抽取的值，因此 服从正,态分布，期望值是 ，方差是 ，标准差是,伊藤过程和伊藤引理,如果上面随机过程中的a与b是x和t的函数，则可得到伊藤过程:,dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz （5）,其中dz是维纳过程。伊藤过程中的预期漂移率和波动率随时间而变化。,定理5.4.1,（伊藤引理）假设变量x服从伊藤过程，设G=G(x,t)是x的二次连续可微函数，则G(x,t)遵从如下过程：,证明：,由二元函数的泰勒展开公式有：,因为,由该式有结果：,根据（6）有,将（6）（7）和（8）代入（5），得到,令 得到,再将dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：,由伊藤定理可知，如果x,t服从伊藤过程，则x,t的函数G也服从,伊藤过程，不过漂移率和波动率分别为：,不支付红利股票价格的行为过程,如果假设股票价格服从一般维纳过程，则有不变的期望漂移率,和波动率，这不符合实际。所以，一般假设股票价格变化的比例,dS/S服从一般维纳过程，即：,因此，股票价格S可用漂移率 和波动率 的伊藤过程描述，即：,其离散形式为：,如果 为常数，则称式（10）为几何布朗运动。几何布朗,运动是最广泛的描绘股票价格行为的模型。,如果S服从伊藤过程，则S和t的函数G也服从伊藤过程。,注意，S和G都受dz的影响，我们定义G=lnS，因为：,则（12）可简化为,因为 为常数，所以（13）也是维纳过程，其漂移率是,波动率是 。因此lnS在t与T时刻之间的变化服从正态分,布，其期望值为 方差为 。这意味着：,5.5 Black-Scholes,公式的推导,修正的模型,构造一个只包括股票和现金的简单组合，假设买了a股价格为S,0,的股票，现金为b元，则投资额为：,经过时间t后，投资的资金将变为,用无风险利率r贴现该值，得到 ，将（5.11）,变为 并代入上式得到：所以：,所以能够用投资组合未来价值的折现值计算,0,，即,修正后的股价模型满足：,因此修正的股价模型是：,二叉树模型参数的确定,目的：在衍生证券定价中，根据标的资产价格的波动情况确定,二叉树模型中的参数（待定参数为：N，r,f,，u，d）,简单的：N，r,f,周期数N自定，若衍生证券的有效期限为T，则每周期时间长,度为,无风险利率 r,f,，若按连续复利计算，则单周期的无风险利率,为,麻烦的：u,d,由风险中性概率的存在性，记 得,从衍生证券定价的二叉树模型出发推导,B-S,公式,但风险中性概率是未知的，这个方程提供了p,u,d之间的一个关系，,另一个关系方程需要从股票价格的统计量来得到。,股票的连续复利增长率（对数收益率）,再假定的风险中性概率下，增长率的期望为：,增长率的方差为,当T=1时，年增长率的方差为:,股票波动率股票年增长率的标准差,这个统计量在现实中可由股票数据和统计方法得到，于是成为关于p、u、d的第二个关系方程。,联立方程,有,常见参数选择方式 第三个方程的给出,（1）JR树p=q=0.5,（2）CRR树 u=1/d,在这个模型当中，方程,被另外两个方程所代替：,这样结合ud=1可得：,（3）Trigeorgis树ud=1,与CRR树类似，但仅将方程,用 代替，结,合方程,与ud=1可解出：,对这些参数确定方式，在数值计算中继续讨论。,二叉树模型的极限形式,BS,公式,二叉树主要是刻画股票价格变化过程,此时股票对数收益率 为独立同,分布的随机变量 的和，而其期望与方差分别为,故期望与方差为：,当 时，忽略一些无穷小项之后，可以说明,从而由中心极限定理可知，当 时，y的极限概率分布是一,个均值为 ，方差为 的正态分布,从而对t时刻的股票价格S,t,有,即,T时刻的股票价格S,t,服从对数正态分布，这与连续模型中假定股,票价格为几何布朗运动是一致的。,【独立同分布的中心极限定理】,设随机变量X,1,、X,2,X,N,独立同分,布则随机变量：,的分布函数F,N,（x）满足：,即当N很大时，y,N,近似服从N（0,1）。,二叉树模型的风险中性定价公式,考虑一个有效期为T，到期值复位F(S)的欧式衍生证券，在风,险中性概率测度下，其价值为：,若F(S)为线性函数，则当 时，F(S,T,)近似服从对数正态分,布，于是采用对应的连续方法来求即得到二叉树模型的对数正,态逼近模型：,下面利用上面的公式对欧式看涨期权进行定价，此时,首先计算（5.17）括号中的表达式，当,成立时，括号中的表达式非零。那么，通过解,5.6,看涨期权与看跌期权平价,以S的价格买入一股股票，同时由于担心股价下跌，以C的价格,卖出一份看涨期权（到期时间和执行价任意）。注意股价有可能,下跌，所以又买了一份价格为P，到期时间和执行价与看涨期权相,同的看跌期权，那么：,今天头寸的成本=S+P-C,设看涨看跌期权的执行价都是X，那么到期时的收益多少？,解：,如果SX，则到期收益为X，看跌期权价值为0.我们以X的价格,将股票卖给看涨期权的购买者。,如果SX，则到期收益为X，看涨期权的价值为0.我们以X的,价格将股票卖给看跌期权的出售者。,综上所述，无论未来发生什么，到期收益相同都为X，由于,未来的收益是确定的，因此有：,注意，如果价差则通过买卖S+P-C存在套利,机会，并迅速导致等式两边相等。故平价公式可以写成：,将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入，得到：,对于i=1,2，有N(d,i,)+N(-d,i,)=1，得到欧式看跌期权的B-S价格：,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,