高考名师预测数学试题：知识点03数列.doc

高考猜题
专题03 数列
甘肃天水市第一中学（741000）

一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
1．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45

2已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　)
A．11 B．19 C．20 D．21
3在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　)
A.　　　　B. C.或 D．－或－

4 公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

5已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是 （ ）
A.511 B. 1023 C.1533 D.3069

6数列{an}的通项公式为an＝，则它的前100项之和S100等于(　　)
A．200　　　　 　B．－200 C．400 D．－400
7在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于(　　)
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 C．4n－1 D.(4n－1)
8等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
9设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为( )
A.978 B.557 C.467 D.979
10设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 (　)
A． B． C． D．
11 设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A.d＜0 B.a7＝0
C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
12． 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
14、在等差数列中，，则数列的前n项和Sn的最小值为：

15 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．

16．对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是 ．

三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；
(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
18． 已知{an}是首项为a1，公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.
(1)求q的值；
(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由．

19. 已知数列与满足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列.

20在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线。且点都在斜率为6的同一条直线上．若．
求：（1）数列的通项； （2）数列的前项和.

21．（本题满分12分）设数列的前项和为。
（1）证明：为等比数列；
（2）证明：求数列的通项公式；
（3）确定与的大小关系，并加以证明。

22．（本小题满分12分）
已知数列{an}中，a1＝，点（n，2an＋1－an）（n∈N*）在直线y＝x上，
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

答案

一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）

1、B 在等差数列中，已知得d=3，a5=14，=3a5=42．
2解析：∵<－1，且Sn有最大值，
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
∴S19＝＝19·a10>0，
S20＝＝10(a10＋a11)<0.
所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.
3解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6①
又a4＋a14＝5②
由①、②组成方程组解得或∴＝＝或. 故选C

4 【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C

5【答案】D
【解析】：,
6【答案】B
【解析】：S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.

7解析：若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)，故选D.
8答案：C
解法一：由题意得方程组，
视m为已知数，解得，
∴
解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列.
于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。
∴b3=b2+d=70+40=110
∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.
解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40.
于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210.

9 A解析 ：由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴978.

10解析：解法一：∵ ∴{an}的公比q≠1.由÷＝，
得q3＝－，∴＝＝.
解法二：因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝，故选C.

11【答案】C
【解析】：由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6，∴a6>0，
又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，
由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，
由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的.
12【答案】C
【解析】：由等差数列的性质可知，则只能取五个数，故满足题意的正整数n只有5个，故选C.

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、解析：找出的关系式
[解析]
14、解析：设公差为d，则，∴，∴数列为递增数列，令，∴，∴，
∵，∴，∴前6项和均为负值，∴Sn的最小值为．

15 答案： 。解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．

16．【解析】 设直线方程为，代入抛物线方程得
，设，
则，用韦达定理代入得，
故，故数列的前项和。

三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17【答案】（1）a1＝5（2）t＝－
【解析】：解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋32－1
n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，
∴a2＝23.
∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.
(2)当n≥2时，
bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t)
＝(an＋t－3an－1－3t)
＝(3n－1－2t)＝1－.
要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－，
即存在t＝－，使{bn}为等差数列．

18【答案】(1) q＝.(2) 存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列.
【解析】：解：(1)由题意知5S2＝4S4，
S2＝，S4＝，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)，得q2＋1＝.
又q>0，∴q＝.
(2)解法一：∵Sn＝＝2a1－a1n－1，
于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，
若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，即a1＝－，
此时，bn＝n＋1，
∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列，
所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．
解法二：由于bn＝＋2a1－a1n－1，
所以b1＝＋a1，b2＝＋a1，b3＝＋a1，
若数列{bn}为等比数列，则b＝b1·b3，
即2＝，
整理得4a＋a1＝0，解得a1＝－或a1＝0(舍去)，
此时bn＝n＋1.
故存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．
19【答案】(1) ,,
【解析】：（Ⅰ）解:由,,可得, 又
当n=1时,,由,,得;
当n=2时,,可得.
当n=3时,,可得.
（Ⅱ）证明:对任意,
,①
,②
,③
②-③得 ④,
将④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比数列.

20【答案】(1) (2).
【解析】：
又、
又向量与向量共线即
又点都在斜率为6的同一条直线上

又

（2）

21．【解析】（1）得，
相减得，（2分）
即，故。
故数列为首项是、公比为的等比数列。（4分）
（2）得，，
，故，
所以。（8分）
（3），
，即比较与的大小关系，
，
即比较与的大小。（10分）
当时，，当时，。
方法1．数学归纳法：当时，，结论成立；
设时结论成立，即，则当时，
，即时结论也成立。
根据数学归纳法，对，不等式成立。（12分）
方法2．二项式定理法：
当时，。
故当时，，当时，。（12分）

22．解析 : （Ⅰ）由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，
同理a3＝，a4＝．
（Ⅱ）因为2an＋1－an＝n，
所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，
bn＝an＋1－an－1＝an＋1－（2an＋1－n）－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝
又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（2）得，bn＝－×（）＝－3×（），
Tn＝＝3×（）－．
又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×（），所以an＝n－2＋3×（）n，
所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．
由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．
cn＝＝＝＋（3－λ）×，
cn－1＝＋（3－λ）×，
则cn－cn－1＝＋（3－λ）×（－）．
故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．

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