二次函数图象与性质1作业设计.docx

二次函数图象与性质（1）

1. 二次函数的定义：一般地，形如的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
2. 当b＝0且c＝0时：二次函数变为，
（1）当a＞0时，其图象如下：

（2）当a＜0时，其图象如下：

可以看到：对于抛物线，越大，开口越小。
3. 二次函数的图象与性质

开口方向
上
下
顶点坐标
（0，0）
对称轴
y轴
性质
在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大
在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小
最值
函数有最小值，最小值为0
函数有最大值，最大值为0

例题1 已知函数是二次函数，且当时，y随x的增大而增大。
（1）求k的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得，解得，；
当时，原函数为，当时，y随x的增大而减小，故不合题意，舍去；
当时，原函数为，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
故。
（2）抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
点评：注意对k的值进行合理的取舍。

例题2 （1）已知A（1，y1）、B（－2，y2）、C（－，y3）在函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 。
（2）（潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－ x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 。

思路分析：（1）最直接的思路是将自变量的值代入函数表达式，求出每个点的相应的纵坐标，然后进行比较；当然也可以利用数形结合、以形助数的方法。（2）数形结合：由图象可知，当x＝－2或1.5时，两函数图象相交，从数量上来看，对应着y1＝ y2，当x＜－2时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，当－2＜x＜1.5时，抛物线在直线的下方，对应着y1＜y2，当x＞1.5时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，综上所述，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是－2＜x＜1.5。
答案：（1）y1＜y3＜y2；（2）－2＜x＜1.5。
点评：以形助数，数形结合，直观形象，事半功倍。

例题3 苹果熟了，从树上落下所经过的路程y与下落的时间t满足y＝gt2（g是不为0的常数），则y与t的函数图象大致是（　　）

A　　　　　　 B　　　　　　　　 C　　　　　　　　 D
思路分析：结合函数关系式和自变量的取值范围进行判断：y＝gt2（g是不为0的常数），所以y是t的二次函数，图象为抛物线且顶点是原点，据此排除A和C选项，由于时间t不可能为负数，即抛物线不可能经过第二象限，据此排除D选项，因此这道题选B。
答案：B
点评：对于抛物线，当自变量取值范围是一切实数时，图象是整条抛物线；当函数中两个变量被赋予了实际意义或者函数自变量的取值范围有限制时，图象是抛物线的一部分。

【高频疑点】数形结合理解函数的增减性
1. 一次函数；当k＞0时，直线从左往右是一直上升的，因此y随x的增大而增大；举例：函数，不论自变量添加怎样的取值范围，y总是随着x的增大而增大。

2. 反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，从左往右双曲线是下降的，因此在每一个象限内，y随x的增大而减小；举例：函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜－0.5时，y随x的增大而减小，但是不能说函数，其中y随x的增大而减小。

3. 二次函数，当a＞0时，在对称轴的左侧，从左往右图象一直是下降的，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，从左往右图象一直是上升的，因此在对称轴右侧，y随x的增大而增大，举例：函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＞5时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜－2时，y随x的增大而减小。

【矫正训练】
（山东德州）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. y＝－x＋1 B. y＝x2 C. y＝ D. y＝－x2＋1
思路分析：A. 函数y＝－x＋1，当x>0时，y随x的增大而减小；B. 函数y＝x2，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C. 函数y＝，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D. 抛物线y＝－x2＋1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小。
答案：B
点评：本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质。解答本题，需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断，只要函数图象从左往右一直是上升的，y就随x的增大而增大，只要函数图象从左往右一直是下降的，y就随x的增大而减小。