一般实系数三次方程谢国芳求根公式的推导方法1（从卡丹公式出发的推导）.doc

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一般实系数三次方程的简明新求根公式和判别法
—— 谢国芳 Email: roixie@

目次
1. 一般三次方程的简化
2. 简约三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推导 
3. 卡丹公式的缺陷和简约实系数三次方程的新求根公式和判别法 
4. 一般实系数三次方程的新求根公式和判别法 

1 一般三次方程的简化
对于一般形式的三次方程 , 两边同除以，即可化为首项系数为1的三次方程
,
然后作变量代换
, （1）
可消去二次项，将它化为下面的形式：
, （2）
其中
, . （3）
下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程.

2 简约三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推导
在方程（2）中，设
（4）
代入并展开整理后得到
（5）
若选取使得，即
（6）
方程（5）就简化为
（7）
式（6）两边立方得

结合式（7）可知是下面这个二次方程的两个根：

解得 .
鉴于的对称性，不妨设
,
其解为
，
其中
, （即三次单位根）
，,
立方根,满足约束条件
（8）
显然只有如下的配对才能满足式（6）：
, ,
代入式（4），我们就得到方程的三个根：
（9）

这正是著名的卡丹（J. Cardan，也译作卡当或卡尔丹、卡尔达诺）公式.

3 卡丹公式的缺陷和简约实系数三次方程的新求根公式和判别法
卡丹公式在理论上解决了三次方程的求解问题，可以说是一个在数学史上赫赫有名、意义非凡的公式，但在实际应用中却遭受“冷遇”，虽然它是一个精确的求根公式，但在实际应用中人们往往宁可采用其他近似的数值方法（如二分法、牛顿切线法和各种迭代法等）而不愿意用它来求解三次方程，造成这一奇怪现象的原因在很大程度上不能不归咎于卡丹公式本身。
作为三次方程的求根公式，卡丹公式确实存在不少缺陷，大致说来有下面这几个方面：
第一，它仅仅是针对没有二次项的三次方程的求根公式，对于一般形式的三次方程，需要经过变换从先求出相应参数的值后才能套用公式求解，显然，这在实际应用中是很不方便的.（拿二次方程的情形作类比，卡丹公式相当于仅仅是没有一次项的二次方程的求根公式，而对于一般形式的二次方程，人们必须自行设法变换到的形式后才能求解.）
第二，即使限于没有二次项的三次方程，卡丹公式的复杂结构和冗长笨重的表达式也令人望而生畏，特别是对于比较复杂的数值，由于需要反复地乘方开方，计算相当繁复.
第三，当时[1]，虽然这时候方程的三个根全都是实数，但套用卡丹公式却必须计算复数的立方根，这是一件相当别扭和麻烦的事情.

针对卡丹公式的上述缺陷，下面我们将通过引入几个辅助参数将它彻底“改造”， 得到一个新的求根公式，并顺便推导出相应的根的判别法则，它们是接下去我们推导出一般三次方程的简明求根公式和判别法的“跳板”.

定理1 对于实系数三次方程，定义
关键比（key ratio） , （10）
则有如下根的判别法则和求根公式：
(1) 当时，方程有一个实根和两个共轭虚根：
（11）
其中 .
(2) 当,时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根： （12）
其中 .
(3) 当, 时，方程有两个相等的实根（即一个二重实根）和另一个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（12）求解.
当时，，代入式（12）即得
, . （13）
当时，，代入式（12）即得
, . （14）
(4) 当，时，方程有三个互异的实根：
（15）
其中.
证明： 首先我们把求根公式（9）改写一下. 由约束条件（8）可得, 代入式（9）即得方程的三个根为：
（16）
其中 .
（一）若，则

代入式（16）即得式（11），显然其中的为实根，为共轭虚根.
（二）若，则
（17）
下面我们分和两种情形讨论.
（1）若，则为实数，也为实数，式（17）即
,
代入式（16）即得式（12），易见其中的为实根，当时为共轭虚根，当即时为两个相等的实根（参见式（13）、（14））.
（2）若，则，为虚数，这时式（17）即
,
因，故可设（），即，于是

代入式（16）即得
,

显然全都是实根，并且易证它们两两不等.
实际上可证.
因为反余弦函数的值域为，故由且可知
, ,
因此
, ,
由此即可判定各根的范围：
, ,
显然.

4 一般实系数三次方程的新求根公式和判别法
为了将上一节我们得到的求根公式和判别法推广到一般的实系数三次方程，只要把相应的简约三次方程的关键比直接用系数表出即可.
将由式（3）给出的值代入式（10）可得

如果约定，则[2]
, （18）
我们可以把它称为三次方程的关键比.
定义参数，由式（3）可知，故和的符号相反，根据定理1，并注意到（参见式（1）），我们就得到了如下的结果[3].

一般实系数三次方程的新求根公式和判别法
对于实系数三次方程，定义参数[4]
, , （19）
则有如下根的判别法则和求根公式[5]：
(1) 当时，方程有一个实根和两个共轭虚根：
（20）
其中 .
(2) 当，时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：
（21）
其中 .
(3) 当，时，方程有一个两重实根和一个单重实根，此时仍可用求根公式（21）求解[6].
当时，，代入式（21）即得
, . （22）
当时，，代入式（21）即得
, . （23）
(4) 当，时，方程有三个互异的实根：
（24）
其中. 我们可以把上式称为一般实系数三次方程的三角求根公式.
(5) 当（即关键比的分母为0）时[7]，方程可以配成完全立方求解，两边同除以，再利用可将它改写成

解得
（25）
其中为三次单位根（，）.
易见当时，为实根. ,为共轭虚根.
当时，，即方程有一个三重实根.

例题1 判别方程根的情况并求解.
解：, , , ,
,

由,可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（24）求解.
,
,
,
.

例题2 判别方程根的情况并求解.
解：,
由可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（20）求解.

,
,

例题3 判别方程根的情况并求解.
解：,

由, 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（21）求解.
,
,

【注解】
[1] 等价于，（为由式（10）定义的关键比），即下文简约三次方程的求根公式和判别法的情形（4）.

[2] 当时我们仍以式（18）作为关键比的定义，这样做的好处是可以保持求根公式不变（参见注3）. 倘若当时我们把关键比定义成式（18）的右边乘以，则我们必须同时改变各求根公式中平方根因子和前面的符号（因为, ）.

[3] 虽然下面的各求根公式是在的约定下导出的，但实际上它们对于的情形也同样成立，只要注意在变换下（从式（19）可见在该变换下不变，），由这些求根公式得到的三个根不变（虽然根的编号可能改变），就能证明这一点.

[4] 参数（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为实系数三次方程的第一判别式（first discriminant）.

[5] 注意下面这几个求根公式和二次方程求根公式形式上的相似性（这很方便记忆）.

[6] 也可以用三角求根公式（24）求解：当时，，代入可得，，此即式（23）；当时，，代入可得，，和式（23）的差别只是根的编号不同.
[7] 这对应于简约三次方程的一次项系数的情形（参见式（3））.

参考文献
[1]（美）斯狄瓦（John Stillwell）著；袁向东，冯绪宁译.数学及其历史[M].北京：高等教育出版社，2011.3：74～83.
[2](美)伊夫斯（Howard Eves）著；欧阳绛译.数学史概论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2008.12：264～270.
[3] （美）保罗.J.纳欣（Paul J. Nahin）著；朱惠霖译.虚数的故事[M].上海：上海教育出版社，2008.12: 1～28.
[4] （美）约翰.德比希（John Derbyshire）著；冯速译.代数的历史：人类对未知量的不舍追踪[M].北京：人民邮电出版社，2010.8.

作者简介：
谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，复旦大学物理系本科毕业，曾获李政道奖学金赴美就读于哥伦比亚大学物理系研究生院攻读理论物理，后来兴趣转向语言学和外语学习，回国从事独立的语言学和外语学习方法研究，创立了“外语解密学习法”，近年来也进行独立的数学和数学史研究，致力于外语文化和大众数学普及工作，通晓英、法、德、西、俄、日、韩等多国外语。著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的数学和物理论文有：
　　1. 《D 函数的一种初等推导及应用》（1996年01期《大学物理》）
　　2. 《量子角动量理论新探》（1998年06期《大学物理》）
　　3. 《球坐标D函数与的傅里叶级数表示》 （2001年01期《大学物理》）
4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》​ （2012年第21期《数学学习与研究》）