高三文科数学031.doc

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期数： 0511 SXG3 031
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十四 高三文科数学总复习十九
——数列的求和
【学法引导】
等差数列和等比数列是数列的两个重要的基本模型，是高考中的最大热点之一，利用等差数列和等比数列求数列的和，也是高考的热点，应掌握一些基本方法.
【基础知识概要】
求数列的前n项和的常见的几种方法：
（1）公式法：对等差数列或等比数列；
（2）分解法：{Cn=an+bn}其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；
（3）倒序相加法：同等差数列前n项和公式的推导；
（4）错位相减法：数列{an·bn},其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；
（5）拆项相消法：形如，其中{an}是等差数列.
【应用举例】
例1 求下列数列的前n项和Sn：
(1)…；
(2)1,11,111,1111,…
解：（1）通项公式为an=(2n-1)+()n,
所以 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+()
=
（2）通项公式为 an=,
所以 Sn= =
评析：以上两小题从数列的通项来看既不是等比数列也不是等差数列，但它们都有一个特点：都可以写成两个或几个前n项和的数列（比如等差数列和等比数列）相加减的形式，这样就可以把原数列的前n项和写成几个数列（已知其Sn）的前n项的和，我们把这种求数列前n项和的方法称为“分解求和法”.
例2 求和：1+a+a2+a3+…+an.
分析：本题初看上去是一个等比数列求前n项和的题，其实由于通项公式是由字母表示的，应对字母的取值分类讨论.
解：令an=an-1，
当a=0时，a1=1, an+1=0, 此时1+a+a2+a3+…+an=1;
当a=1时，an=1, 此时1+a+a2+a3+…+an=n+1;
当a≠0，且a≠1时，数列{an}为公比不为1的等比数列，此时1+a+a2+a3+…+an=
所以，
1 (a=0)
1+a+a2+a3+…+an= n+1 (a=1)
(a≠0,且a≠1)
例3 求和：Sn= x+2x2+3x3+…+nxn.
解：当x=0时，数列不是等比数列，Sn=0.
∵Sn= x+2x2+3x3+…+nxn ①
∴x·Sn= x2+2x3+…+(n-1)xn+nxn+1 ②
①-②得：(1-x)Sn=Sn-xSn= x+(x2+…+xn)-nxn+1.
当x≠1时，(1-x)Sn=
所以 Sn=
当x=1时，Sn=1+2+…+n=.
0 (x=0)
∴Sn= (x=1)
(x≠0,且x≠1)
评析：（1）若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用上述的方法，我们把这种方法叫做错位相减法.
（2）如等比数列公比为字母，要对字母分q=1和q≠1两种情况讨论，有时甚至讨论数列是否为等比数列，比如此题x=0时，不是等比数列.
例4 求下列数列的前n项和Sn:
(1)
(2)
解：(1)an=
所以Sn=
=
=
(2)an=
Sn=
=
=
评析：（1）以上两题的解法有一个特点：将数列的每一项“一分为二”，即每一项拆成两项之差，以达到消项的目的. 我们不妨称这种方法为“拆项相消法”.
（2）在使用时应注意以下两点：
① 拆项时应注意是否为恒等变形，防止漏去系数；
② 消项时应注意观察消项的规律，像（1）中是前后两项相消，而（2）中相消时前两个括号中留下两个正项，而最后两个括号中留下两个负项.

【强化训练】
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则等于（ ）
A．(2n-1)2 B．(2n-1)2
C．4n-1 D．(4n-1)
2．公差为-2的等差数列{an}中，若a1+a4+a7+…+a97=50, 则a3+a6+a9+…+a99的值为（ ）
A．-182 B．-78 C．-148 D．-82
3．设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n, 则S4m+S2m+1+S2m+3(m)的值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．随m的变化而变化
4．已知数列{an}的前n项和Sn = n2, 则式子的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．数列1×的前n项和为（ ）
A．2- B．
C． D．
二、填空题
6．设{an}是首项为2，公差为3的等差数列，则=_______．
7．1+_________．
8．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n项和Sn=________．
9．已知an=3n-1，则a1+a4+a7+…+a3n-2=________．
三、解答题
10．求和Sn=12+22+32+…+n2.
11．求通项公式为的数列的前n项和.
12．求和

参考答案
一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C
二、6． 7． 8．2n+1-n-2 9．
三、10．解：∵13-03=3×12-3×1+1 ①
23-13=3×22-3×2+1 ②
33-23=3×33-3×3+1 ③
…………………………
n3-(n-1)3=3n2-3n+1
以上几个式子相加得
n3=3Sn-3×，
∴ Sn=.
11．解：
=
=
12．解：当时，；
当时，将两边同时乘以得
，
两式相减得，，
即，故.