高三文科数学055.doc

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期数：0512 SXG3 055
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇四十 高三文科数学总复习三十五
———双曲线
【高考命题趋势】
双曲线与椭圆均为圆锥曲线的核心内容，是历届高考的热点内容，每届高考都各有一个小题考查其基础知识，如基本量（a、b、c、d、e ）的计算或范围的确定或求曲线的方程等，且与椭圆一起，通常一年以其中一种曲线为核心在知识网络的交汇点命制与相关知识（如函数、三角、不等式、平面几何等）联系的创新性综合性能力题，易于命制各类难度且区分度又好的能力题，在新一届高考中仍将受到重视，限于中学知识与学生能力，双曲线考题仍将控制难度.
【应用举例】
例1 双曲线中心在原点，渐近线为，顶点间距为6，求双曲线方程.
分析：渐近线方程为，即，可设双曲线方程为.
解：由渐近线方程，设双曲线方程为.
①当焦点在x轴上时，，∴，此时双曲线方程为.
②当焦点在y轴时，，
∴，此时双曲线方程为.
点拨解疑
对焦点位置的分类讨论，体现思维的广阔性和严密性.
例2 设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求这双曲线的方程.
分析一：待定系数法，寻找两个条件解方程组.
解法一：设双曲线方程为，
由题意，∴c=3，
又其上点A纵坐标为4，则横坐标为，
∴ 解得
∴双曲线为.
分析二：根据交点坐标和第一定义求得2a得解.
解法二：将A点纵坐标代入椭圆方程得，
又两点分别为，
∴，
∴，
∴，
∴双曲线方程为.
分析三：与共焦点的圆锥曲线可设为：.
解法三：由题意设双曲线方程为，
将代入得，（舍去），
故所求双曲线方程为.
例3 若M为双曲线上异于顶点任一点，双曲线焦点为，设，求的值.
分析一：从结论出发，利用三角公式及正余弦定理.
解法一：设
则

分析二：构造出，利用三角函数定义及切线长定理解题.
解法二：作出的内切圆⊙，N为⊙与x轴相切的切点，
则，
又，
∴，
∴.
分析三：从已知出发，寻找间相等关系化简求解.
解法三：在中，据正弦定理有
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
点拨解疑
分析法、综合法、构造法从不同角度寻找突破口，获得不同解法，对提高思维能力很有好处.
【强化训练】
一、选择题
1．动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．圆
C．双曲线一支 D．椭圆
2．设为双曲线的两个焦点，点P在双曲线C上且满足，则的面积为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
3．ab＜0是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
二、填空题
4．双曲线，、是它的焦点，设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线与双曲线的左准线重合，P是与的一个交点，那么________.
三、解答题
5．已知双曲线的两条渐近线过原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点与A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k.
（1）求双曲线S的方程.
（2）求k=1时在双曲线S的上支上求点B使其与直线l的距离为.
（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标.
6．如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围.

参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．B
二、填空题4．1
三、解答题
5．（1）由题意，双曲线渐近线为，∴双曲线方程为.
（2）设是双曲线S上到直线的距离为的点，
由点到直线距离公式得，
解得，∴.
（3）当时，双曲线上支在l上方，∴B点在l上方，
设直线与直线平行，两线间距离为，且在l上方，
设为，则，
解得（负值舍去），
联立方程组，得，
∵，∴，
∴k=0或，
当k=0时，B为；
当时，B为.
6．解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴建立直角坐标系，则CD⊥y轴，CD关于y轴对称，设、、，
∴，
又设双曲线：，则，又C、E在双曲线上，∴，
，
得，
∵，∴.