高三数学理科二摸.doc

东北师大附中2005—2006学年度高三年级第二次
“清楚看自己、清醒看未来”主题知识竞赛数学学科（理科）试卷
命题人：高三数学备课组 审题人：李晓松 时间2005年11月22日
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上．
3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．
第Ⅰ部分（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的最小正周期是
(A) （B） （C） （D）
2．设全集，或，，则集合（CIA
(A) （B）
（C） （D）
3．
(A) 　　（B）0 　 （C） 　　（D）
4．若定义运算，则符合条件的复数为
　(A) 　　 （B） （C） （D）
5．等差数列中，，则此数列的前13项和为
　(A)13 　　（B）26 　　　　 （C）52 　　　　 （D）156

O

（Ａ）
（Ｂ）

1
O

O
1

（Ｃ）
O

1
1

（Ｄ）
6．设函数，则函数的图象为

7．已知函数，且，则的最小值为
（Ａ）１　　　　　（Ｂ）　　　　 （Ｃ）　　　　　　（Ｄ）
8．当时，的
(A) 最大值为2，最小值为 （B）最大值为1，最小值为
（C）最大值为1，最小值为 （D）最大值为2，最小值为
9．已知，则的值是
(A) （B） （C） （D）
10．设,若、，且，则下列不等式必定成立的是
（A） （B） （C） （D）
11．命题：函数不具有奇偶性；命题：函数的最小正周期为．对于以上两个命题，下列结论中正确的是
（A）　命题“或”为假 　　　　　（B）命题“或”为真
　 （Ｃ）命题“且”为假 　　　　　　（D）命题“非”为真
12．已知数列满足：且，若，则
(A) （B）3 （C）4 （D）5
第Ⅱ部分（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．设，则 ．
14．向量，满足，且，，则与的夹角为 ．
15．在数列中，，且对任意正整数，，是和的等差中项，则 ．
16．关于下列四个命题：
①已知为第三象限角，则为第一或第三象限角．
②函数的图象的一个对称中心是．
③函数在区间上为增函数．
④在中满足，则是直角三角形．
　　则其中正确的命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）
　　已知为第二象限角，且，求的值．
18．（本题满分12分）
已知且， 解关于的不等式．

19．（本题满分12分）
设数列是等差数列，．
（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；
（Ⅱ）当时，若自然数满足，使得是等比数列，求数列的通项公式．
20．（本题满分12分）
　 某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn＝，汛期共计约30天．当前水库水位为190(标高)，而水库警戒水位是400(标高)．水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降6(标高)．
（Ⅰ）若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险（超过警戒水位）？若有危险，将发生在第几天？
（Ⅱ）若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？
21．（本题满分12分）
　已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（，0）和（1，0），点A、P、Q运动时满足　　　　　　．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点E与动点P的直线与轴交于点M，若，求直线的斜率．
22．（本题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；
（Ⅲ）设，求证：．

参考答案及评分标准
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
B
B
B
D
A
C
B
A
二、填空题
13． 0 14． 15． 96 16．②③④
三、解答题
17．解： ∵为第二象限角，且，∴…………………………2分
∴．
……………………………………………………………………………12分

18．解：原不等式等价于……………………………………………2分
(1) 当时, 原不等式, ∴， 解得．……6分
(2) 当时, 原不等式, ……………………8分
∴ , 解得．…………………………………………………10分
综上所述，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为．……………………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）设公差为，则由，得………………2分
∵成等比数列，∴
即，解得．
故成等比数列．………………………………………………………………6分
(Ⅱ)，∴，故．…8分
又是等比数列，
则，∴，……………………10分
又，∴，∴…………………………12分
20．解：（Ⅰ）进入汛期第ｎ天的水库水位标高＝＋190，………………………2分
令＋190>400，整理得>210，解得n>10，…………………………………4分
∴会发生危险，在第11天发生．………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设每天开启p个水闸泄洪，则水库水位标高＝＋190—6np
令＋190—6np≤400，
即p≥对一切总成立．……………8分
而函数在为增函数，
所以当时，
因此………………………………………………………………………………………11分
即每天至少开启9个水闸泄洪，才能保证水库安全．………………………………………12分
21．解：（Ⅰ），∴为的中点．……………………………………………1分
又，∴．∴为的垂直平分线，∴．…………3分
，∴、、三点共线．∴为的垂直平分线与的交点．
∴．………………………………………………5分
∴点的轨迹为椭圆，且， ∴．
∴所求的椭圆方程为．………………………………………………………………7分
（Ⅱ）设，直线：，则．
∵，∴，
∵时，有，又点在椭圆上，∴，
∴．
故直线的斜率为．…………………………………………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）∵，当时，．……………2分
∴在区间上为增函数，∴．4分
（Ⅱ）令，
则．…………………………………………6分
当时，．∴在区间上为减函数．
又函数在处连续，且．
∴，即．
在区间上，函数的图象在函数的图象的下方．……………9分
（Ⅲ）证法一：，
当时，不等式成立．
当时，

∴．………………………………………………………………14分
证法二：数学归纳法
（1）当时，不等式成立．
当时，左边，右边，不等式成立．
（２）假设当时，不等式成立，即．
　　　那么，当时，

这就是说，当时，不等式也成立．
由（１）（２）知，对于一切正整数ｎ不等式都成立．

高三数学（理科）试卷（第 5 页 共 4页）