线性代数练习123.doc

线 性 代 数 练 习 一

学号 姓名
一、 填空
1、按定义写出一个四阶行列式的的表达式 ，其中一项前面应带的符号为 ，此行列式展开式中共有 项。
2、写出四阶行列式按第三列展开的展开式＝ ，写出按第二、三两行展开的Laplace展开式＝ ，计算＝ 。
3、若阶行列式＝＝，则＝＝ 。
4、已知，则中的系数为 。
5、设，，，当＝ 时，线性相关，此时＝ ，一个极大无关组为 。
6、设，，，当＝ 时＝2，一个极大无关组为 。
7、若＝，则，的任一个部分组都线性 关。若＝，则，中任个向量必线性 关。
8、设为四阶矩阵，当4时，＝ ，而且的行（列）向量组一定线性 关。当＝4时，的行（列）向量组一定线性 关。
9、设为65矩阵，当＝5时，的行向量组一定线性 关，列向量组线性 关；当＝4时，的行（列）向量组一定线性 关。
10、设非齐次线性方程组的增广矩阵经行初等变换化为,则 时，方程组无解； 时，方程组有唯一解； 时，方程组有无穷多解，此时其导出组的一个基础解系中含 个解向量。
二、 计算题
1、已知，
求：1），2）
2、计算四阶行列式：
及的第一列元素的代数余子式之和，即。
3、已知向量，，，。
证明：向量可由线性表出且表达式唯一，并写出表达式。
4、设线性方程组
讨论、取何值时，方程组无解、有解；在有解时求出方程组的通解。

5、设齐次线性方程组的系数矩阵，讨论当满足什么条件时仅有全零解或有非零解；在有非零解时求出方程组的通解。

6、已知，，为非齐次线性方程组的三个互不相等的解，该方程组系数矩阵的秩为2，若＝，＝。
求：方程组（1）的通解。
线 性 代 数 练 习 二

学号 姓名
一、填空
1、设＝，则＝ ，＝ 。
2、设＝，＝，则＝＝ ，＝ ，＝ 。
3、为四阶矩阵，＝2，则可逆且＝ ，＝ ，＝ ，＝ 。（为矩阵的伴随矩阵）
4、、、均为阶矩阵，若＝，则＝ ，＝ ，＝ ；又若＝＝＝，则＝ 。
5、、为阶矩阵，＝2，＝1，则＝ ，的列向量组线性 关。
6、为53矩阵，为35矩阵，则为 阶矩阵，且 ，＝ 。

二、判断题（在括号内填“√”或“×”）
1、设为阶方阵，若＝0，则＝0， （ ）
若＝0，则＝。 （ ）
2、若、均为阶方阵，则＝（ ），
＝ （ ）， ＝ （ ），
＝ （ ）， ＝ （ ）。
3、、、均为阶方阵且＝，则＝（ ），
＝ （ ），＝（ ），＝（ ）。
4、若＝且0，则＝ （ ）；
若＝且0，则＝ （ ）。
5、若＝0则＝0或＝0 （ ）；
若＝0且为可逆矩阵，则＝0。 （ ）
6、若＝0则的列向量均为齐次线性方程组＝0的解。 （ ）
的行向量的转置均为齐次线性方程组＝0的解。（ ）

三、计算题
1、求下列矩阵的逆矩阵：1）；2）。
其中2）要求用初等变换法求。

2、、均为三阶矩阵，＝，＝，且＝1，＝－1； 求：1） 2）
3、三阶矩阵、满足＝，其中＝，=。
求：矩阵。（为矩阵的伴随矩阵）
4、1）计算
2）设＝，=，
写出初等矩阵，使＝，并求，。
5、设三阶矩阵0，且每个列向量均为齐次线性方程组＝0的解。 求：1）的值 2）
6、三阶矩阵＝，
求：的特征值，线性无关特征向量及全部特征向量。

四、阶矩阵满足。
求证：可逆，并求。

线 性 代 数 练 习 三

学号 姓名
一、填空
1、已知矩阵＝，矩阵与相似，则＝ ，的特征值为 ，的特征值为 ，＝ 。
2、设矩阵有特征值＝0，则＝ ，其中＝。
3、三阶矩阵特征值为1，2，－3，则相似于对角形矩阵，的对角标准形为 ，的分别属于特征值1、2的特征向量，必线性 关；又若实对称矩阵与相似，那么属于1和2的特征向量，必 。
4、已知三阶方阵、、都不可逆，则的特征值为 ，且的特征多项式为 ， （填能或不能）与对角形矩阵相似。
5、三阶实对称矩阵特征值为＝＝＝2，则属于特征值2的线性无关的特征向量必有 个，与相似的对角形矩阵为 ，且＝ 。
6、设为三阶实对称矩阵，特征值为＝＝2，＝1，若属于特征值1的一个特征向量为＝，则属于特征值2的线性无关的特征向量为
＝ 和＝ 。
7、设为四阶矩阵且＝2，则的伴随矩阵的秩＝ 。
8、二次型＝的矩阵的特征值为，，则此二次型在正交变换下化为标准形＝ ，当（＝1，2，3）满足条件时 ，此二次型正定；又若的特征值为－2，0，3，则此二次型的规范形为 ，此时二次型的秩为 。

二、计算题
1、设二次型
1） 用正交变换法将二次型化为标准形，写出所做正交变换及标准形。
2） 用配方法将二次型化为标准形，写出所做可逆线性变换及标准形。
3） 此二次型是否正定？说明理由。

2、矩阵＝的一个特征向量为＝。
1） 确定中参数、，并求出特征向量对应的特征值。
2） 问矩阵能否与对角形矩阵相似，说明理由。

3、已知三阶矩阵能够与对角形矩阵相似。
1）、求出矩阵中的值。
2）、求可逆矩阵使为对角形矩阵，并写出的对角标准形。

4*、三阶实对称矩阵特征值为＝＝1，＝－1，属于特征值1的线性无关的特征向量为＝，＝。
1） 求矩阵属于特征值＝－1的特征向量。
2） 求正交矩阵，使＝为对角形矩阵，并写出此对角形矩阵。
3） 求矩阵。