二次函数及几何应用（不含相似）含答案.doc

3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.
(1)求a的值；
(2)求A,B两点的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.

考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
解答：解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．
∴抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，
∴顶点坐标为：（1，﹣+a），∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2，∴a=﹣；
（2）二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，
∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3， A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，

∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，∴DE=，
∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1， D点的坐标为：（2，），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），
代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．
（2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

考点：二次函数综合题．
分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．
B
A
y
O
(图②)
x
D
C
E
F
G
H
M
解答：解：（1）令y＝0，由解得；
令x＝0，解得y＝8a．
∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，
该抛物线对称轴为直线x＝3．
∴OA＝2．
如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1．
由题意得：．
∴，∴∠O’AM＝60°．
∴，即．∴．
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．
（Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM．
∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，
∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．
∴FB＝3，，∴3≤PB<．
B
A
y
O
(图③)
x
D
C
E
F
G
H
P
∵PC≥4，∴PC>PB．
（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB．
∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．
点P的坐标是(3，t)，
∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2．
整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．
∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0
∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．
显然，满足题意．
∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．
点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．
5. （2011•江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；
（2）由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，
∵QE⊥AB，MF⊥BC，
∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，
又∵PQ⊥MN，
∴∠EQP=∠FMN，
又∵∠QEP=∠MFN=90°，
∴△PEQ≌△NFM；

（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t
∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得PQ＝＝
∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝
又∵PQ⊥MN
∴S＝＝＝t2－t＋
∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2．
综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．
点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；（2）由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到答案．
6.（2011•江苏徐州，28，12）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）将顶点坐标C（1，﹣2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；
（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；
（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得△PEF的面积．
解答：解（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，﹣2）．
∴y=（x﹣1）2﹣2，y=x2﹣2x﹣1；

（2）连结CD交AB于点M，
根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD,
所以四边形ACBD是菱形，
过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，
所以直线PM平分菱形ACBD的面积
因为y=与y相交于点P（0,－1）, 顶点为点C（1，－2）
所以点M的坐标为（1，0）
设直线PM的解析式为y=kx+b
则，解之得
所以直线PM的解析式为y=x－1
解方程组，得或
所以点E的坐标为（3，2）.

（3）过点P作直线PQ⊥PM,则直线PQ的表达式为y=－x－1
解方程组，得或
所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C（1，－2）.
所以PE= ,PC=
所以△PEF的面积为
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
7. （2011南昌，25，10分）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．
（1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）根据a=﹣1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．
解答：解：（1）当a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．令y=0，得：x=±1．∴A（﹣1，0），B（1，0），
∵C与C1关于点B中心对称，∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；
（2）四边形AC1A1C是平行四边形．
理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，∴AB=BA1，BC=BC1，∴四边形AC1A1C是平行四边形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．令y=0，得：ax2+b=0，∴，∴，
，，.要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，∴，∴，∴ab＝－3．∴a、b应满足关系式ab＝－3．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．

18. （2011新疆建设兵团，24，10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B 出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．

考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形．
分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；
（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP＝CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；
（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B＝∠APB＝∠BAP＝45°，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．
解答：解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，
∴BE＝（BC﹣AD）÷2＝2.5，
∵∠B＝45°，
∴AB＝，

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP＝x，
∴BP＝CQ＝x，
∵BC＝9，
∴CP＝9﹣x，QF＝x，
设△PQC的面积为y，
∴y＝（9﹣x）•x·，
即y＝－x＋x，
∴当x＝﹣＝时，y的值最大，
∴当x＝时，△PQC的面积最大，

（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，
∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，
∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∵∠B＝∠APB＝∠BMP＝45°，不符合三角形内角和定理，
∴假设不存在，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．
21. （2011重庆市，26，12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的
坐标；若不存在，说明理由.

考点：二次函数综合题．
分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2-2x-3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（ ， ），点D的坐标为（1，-4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2-2m-3），可得m2-2m-2= ，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2-2n-3），可得n2-2n-2=- ，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．
答案：26. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴ 　
解得：b=-2 c=-3　　　　　　　　　　
（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E(t， t+1),则F（t，）
∴EF=
　　=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，）　
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S　=　S　+　S
=
= 　
②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有： 解得:,
∴,　
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
26. （2011•广东汕头）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

考点：二次函数综合题。
分析：（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．
29. （2011•柳州）如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）求出A和C点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；
（2）S四边形ABDC=S△EDB﹣S△ECA，通过求D、B和E点的坐标，根据三角形的面积公式，求出S△EDB和S△ECA．
（3）分三种情况进行讨论：①∠PMN=90°，②∠PNM=90°，③∠MPN=90°．
解答：解：（1）∵一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A （﹣1，0）C （0，﹣4），
把A （﹣1，0）C （0，﹣4）代入y=x2+bx+c得
∴，解得，
∴y=x2﹣x﹣4；

（2）∵y=x2﹣x﹣4=（ x﹣1）2﹣，
∴顶点为D（1，﹣），
设直线DC交x轴于点E，
由D（1，﹣）C （0，﹣4），
易求直线CD的解析式为y=﹣x﹣4，
易求E（﹣3，0），B（3，0），
S△EDB=×6×=16，
S△ECA=×2×4=4，
S四边形ABDC=S△EDB﹣S△ECA=12；
（3）设M、N的纵坐标为a，
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y=，
则M（，a），N（，a），
①当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=﹣a，因为是等腰直角三角形，则﹣a=a+4 则a=﹣2 则P的横坐标为﹣，
即P点坐标为（﹣，0）；
②当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=﹣2，则P的横坐标为=，
即P点坐标为（，0）；
③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=﹣a，
又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=﹣2a，
解得：a=﹣，
点P的横坐标为：==，
即P点的坐标为（，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，难度较大，这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握，以便灵活运用
34. （2011•西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0）．如图所示，B点在抛物线y=x2+x﹣2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。
分析：（1）首先根据题意推出∠BCD=∠OAC，然后BC=AC，根据全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定△BDC≌△COA；
（2）首先（1）所得的结论，即可推出OC=BD=1，即可得B点的纵坐标，设出直线的函数关系式，把B，C两点的坐标代入，求出k、b，即可推出结论；
（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析①以AC为直角边，A点为直角顶点，根据题意推出P1点为BC与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC的解析式和抛物线的解析式，即可推出P1点的坐标，②以AC为直角边，C点为直角顶点，做AP2⊥BC，设与抛物线的对称轴交于P2点，确定点P2的位置，由OA=CD，即可推出A点的坐标，根据AP2∥BC，即可推出直线AP2的的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出P2的坐标．
解答：解：（1）证明：∵ACB⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BCD=∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C点的坐标为（﹣1，0），
∴BD=OC=1，
∴B点的纵坐标为1，
∵B点的横坐标为﹣3，
∴B点的坐标为（﹣3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴，
∴解方程组得，
∴直线BC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣，

（3）存在，
∵抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，
∴y=x2+x﹣2
=（x+）2﹣，
∴二次函数的对称轴为x=﹣，
①若以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P1点为直线BC与对称轴直线x=﹣的交点，
∵直线BC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣，
∴，
∴解得，
∴P1点的坐标为（﹣，﹣）；
②若以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
∴过点A作AP2∥BC，交对称轴直线x=﹣于点P2，
∵OB=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A点的坐标为（0，2），
∴直线AP2的解析式为y=﹣x+2，
∴，
∴解得：，
∴P2点的坐标为（﹣，﹣），
∴P点的坐标为P1（﹣，﹣）、P2（﹣，﹣）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根据（1）的结论，推出B点的坐标，（3）注意分情况讨论，①若以AC为直角边，C点为直角顶点，推出P1点为直线BC与对称轴直线x=﹣的交点，②若以AC为直角边，A点为直角顶点，由A点的坐标，求出直线AP2的解析式．
37.（2011四川眉山，26，11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=a2，又AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a2﹣1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=a2+1，
即有结论d2=d1+1；
（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．
解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵拋物线经过点B（﹣4，4），
∴4=a•42，解得a=，
所以抛物线的解析式为：y=x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=x2上，
∴b=a2，
∴d1=a2，
∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a2﹣1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2==a2+1，
∴d2=d1+1；

（3）由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=x2，得到y=，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
39．（2011成都，28，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|＝1：5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1） 由已知设OA＝m，则OB＝OC＝5m，AB＝6m，由S△ABC＝AB×OC＝15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；
（2）设E点坐标为（m，m2－4m－5），抛物线对称轴为x＝2，根据2（m－2）＝EH，列方程求解；
（3）存在，因为OB＝OC＝5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝x－5，则直线y＝x＋9或直线y＝x－19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
解答：解：（1）∵|OA|：|OB|＝1：5，|OB|＝|OC|，
设OA＝m，则OB＝OC＝5m，AB＝6m，
由S△ABC＝AB×OC＝15，得×6m×5m＝15，解得m＝1（舍去负值），
∴A（－1，0），B（5，0），C（0，－5），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x－5），将C点坐标代入，得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x＋1）（x－5），
即y＝x2－4x－5；
（2）设E点坐标为（m，m2－4m－5），抛物线对称轴为x＝2，
由2（m－2）＝EH，得2（m－2）＝－（m2－4m－5）或2（m－2）＝m2－4m－5，
解得m＝1±或m＝3±，
∵m＞2，∴m＝1＋或m＝3＋，
边长EF＝2（m－2）＝2－2或2＋2；

（3）存在．
由（1）可知OB＝OC＝5，
∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝x－5，
依题意，直线y＝x＋9或直线y＝x－19与BC的距离为7，
联立，，
解得或，
∴M点的坐标为（－2，7），（7，16）．
49. 2011福建龙岩，24，13分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．
（1）填空：b= ．c= ，点B的坐标为（　 　，　 　）：
（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；
（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理.
分析：（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；
（2）求出C（2，4）求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式为，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据EF为BC的中垂线求出和推出直线EF的表达式为，令y=0，得即可求出答案；
（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离（用到点到直线的距离公式）求出a即可．
解答：（1）解：∵抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
代入解析式得：，解得：b=，c=，
故答案为，，5，0．

（2）解：由（1）求得，
∴C（2，4）
∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），
直线BC的表达式为，
整理得4x+3y﹣20=0
设直线EF的表达式为y=kx+b，
∵EF为BC的中垂线，∴EF⊥BC，∴，
把E（3.5，2）代入求得，∴直线EF的表达式为，
在中，令y=0，得，∴F（，0），
∴FC=FB=，答：FC的长是．
（3）解：存在，
作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件，
设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离（用到点到直线的距离公式），
∴，∴5|a|=|3a﹣12|，
∴5a=3a﹣12或5a=﹣3a+12，解得a=﹣6或a=，∴P（2，﹣6）或P（2，），
答：在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，﹣6），（2，）．
点评：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
53. （2011广东省茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

考点：二次函数综合题。
分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x=3；

（2）由已知，可求得P（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；
把x=t代入得：y=﹣x+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+t，
∴S△ACN=NG•OC=（﹣t2+t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
3. （2012四川乐山，26，13分）如图14，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程的两根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在 轴右侧），