高三文科数学029.doc

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期数： 0511 SXG3 029
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十二 高三文科数学总复习十七
——等差数列

【学法引导】
等差数列是一个重要的知识点，考查题型既有选择题、填空题，又有解答题；难度既有容易题、中等题，也有难题. 客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题都有“大而全”，着重考查函数方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想.
【基础知识概要】
1．等差数列的定义
如果一个数列中从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差，通常用d表示.
由定义可知d=an+1－an , 这也是证明或判断一个数列是等差数列的依据.
2．等差数列的通项公式
在等差数列{an}中，an= a1+(n－1)d.
3．等差中项
如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
由等差数列定义可知 A－a=b－A，所以A=，
反之，如果A=，那么2A=a+b，A－a=b－A, 那么a, A, b成等差数列.
结论：{an}是等差数列2an+1=an+an+2(nN*)
4．等差数列的性质
设{an}是公差为d的等差数列，那么
①an=am+(n－m)d或d=.
②如果m, n, l, kN+且m+n= k+l，则am+an=ak+al, 反之不成立，例：常数列（特殊地，当m+n=2p时，am+an=2ap）. 即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.
③数列为常数)是公差为d的等差数列
④若{bn}也是公差为d的等差数列，那么为常数)也是等差数列，公差为
⑤下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列，公差为md.
5．等差数列的前n项和公式
Sn== na1+
由于Sn=na1+=,当d≠0时此式可看作二次项系数为，一次项系数为（），常数项为0的二次函数．其图象为抛物线上的点集，坐标为（n, Sn）(n), 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时，Sn有最小值，当d＜0时，Sn有最大值．
思考：由上可知若{an}是等差数列，则Sn=An2+Bn(A、B是常数)，反之，若Sn=An2+Bn，是否可以推出{an}是等差数列？

【应用举例】
例1 已知a5=11，a8=5，求等差数列{an}的通项公式.
解：∵a8=a5+3d，∴，
∴an=a8+(n－8)·d=5+(n－8)(－2)=21－2n.
例2 已知{an}是等差数列，若a1－a5+a9－a13+a17=117，求a3+a15.
解：∵a1+a17=a5+a13 ，∴a9=117.
∴a3+a15=2a9=234.
例3 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p, q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判断{an}是不是等差数列，只要考察an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.
解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2).
an－an－1=(pn+q)－[p(n－1)+q]=pn+q－pn+p－q=p,
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p，a1= p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p.
评析：由本题可得出结论{an}是等差数列an=pn+q(p,q是常数)
例4 已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求这三个数.
解：由题意可设三个数为x－d，x，x+d.
∵三个数的和为15,
∴x－d+x+x+d=15，即x=5.
(5－d)(5+d)=9,
∴25－d2=9，∴d=±4.
∴这三个数为1，5，9或9，5，1.
评析：对于项数不多的等差数列，应充分利用等差数列中项设元. 如：三个数成等差数列，可设三个数为x－d, x, x+d; 四个数成等差数列，可设四个数为x－3d, x－d, x+d, x+3d. 类似地可推广到更多个数的情形.
例5 等差数列{an}的前n项和Sn= m，前m项和Sm=n(m＞n)，求前m+n项和Sm+n．
解法一：设{an}的公差为d ，
Sn=na1+ ①
按题意得
Sm=ma1+ ②
②－①得
（m－n）·a1+
即
∴
解法二： 设Sx=Ax2+Bx (x)
Am2+Bm=n ①
An2+Bn=m ②
①－②得A(m2－n2)+B(m－n)=n－m
∵m≠n, ∴A(m+n)+B=－1,
故A(m+n)2+B(m+n)= －(m+n)
即 Sm+n= －(m+n)
评析：a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了，这种设而不解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．

【强化训练】
一、选择题
1．数列x－y, x, x+y,…的通项公式是（ ）
A．an=x+ny B．an=x+(n－1)y
C．an=x+(n－2)y D．以上都不对
2．“a+c=2b”是“a、b、c成等差数列的”（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设a、b的等差中项为c，a、c的等差中项为d, 而b、c的等差中项为e，则d、e的等差中项为（ ）
A．a B．b C．c D．a+b
4．若a≠b，两个等差数列a, x1, x2, b与a, y1, y2, y3, b的公差分别为d1和d2, 那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列{an}中a5+a6+a7+a8+a9= 450, 则a3+a11的值为（ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
6．数列{an}的前n项和Sn=2n2+n－1，那么它的通项公式是（ ）
A．an=4n－1 B．an=4n+1
C． D．
二、填空题
7．若{an}是等差数列，公差d=2,an=11,Sn=35, 则a1=______________.
8．已知数列{an}为等差数列，a4+a7+a10+a13+a16=20, 则S19=_________.
9．在等差数列{an}中，如果S10=100,S100=10, 那么S110=___________.
10．一个等差数列的前四项的和为27，最后四项的和为61，所有项的和为143，则该数列的项数为____．
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知a1=83,a4=98,问这个数列在300到500之间共有多少项？
12．已知等差数列的公差是正数，且a2+a5+a8=9，a3·a5·a7= －21，求数列{an}的通项公式.
参考答案
一、1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C
二、7．－1或3 8．76 9．－110 10．13
三、11．由a4=a1+3d得d=5，从而an=5n+78，令300≤an≤500，解得45≤n≤84，且nN,故在300到500之间，共有84－45+1= 40项.
12．由a2+a8=a3+a7=2a5，知a5=3，故由
解得或（舍去，∵公差为正数）
由此可得数列{an}的通项公式an=2n－7（N*）.